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【2018東京工業大学】35x+91y+65z=3を満たす整数解、x^2+y^2の最小値

数学(大学入試問題)

【2018東京工業大学・第2問】

(1) \(35x+91y+65z=3\) を満たす整数の組 \(( x , y , z )\) を一組求めよ.

(2) \(35x+91y+65z=3\) を満たす整数の組 \(( x , y , z )\) の中で \(x^2+y^2\) の値が最小となるもの,およびその最小値を求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

本問では,『3.倍数や余りに注目で考えていきましょう!

考え方(合同式の利用)

\(35x+91y+65z=3\) の係数に注目すると,

\(35=5\times 7\) , \(91=7\times 13\) , \(65=5\times 13\) であるから,

\(mod 5\) または \(mod 7\) または \(mod 13\) に注目して考えていく.

合同式について不安な方、学習していない方は、

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考にまず合同式をマスターしましょう!

大学の難易度に関わらず、合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです!

解答

(1)

初めに,\(mod 13\) として考える.

\(35≡-4\) , \(91≡65≡0\) であるから与式より

\(-4x≡3\)

両辺を \(3\) 倍すると

\(-12x≡9\)

よって,\(x≡9\)

したがって,整数 \(a\) を用いて

\(x=13a+9\) ・・・① と表せる.

 

次に,\(mod 5\) として考える.

\(91≡1\) , \(35≡65≡0\) であるから与式より

\(y≡3\)

したがって,整数 \(b\) を用いて

\(y=5b+3\) ・・・② と表せる.

 

①,②より

\(35(13a+9)+91(5b+3)+65z=3\)

\(\iff\) \(z=-7a-7b-9\)

よって整数解は,\(( x , y , z ) = ( 13a+9 , 5b+3 , -7a-7b-9 )\)

したがって,\(a=b=0\) としたとき整数解の一組は \(( 9 , 3 , -9 )\)

※ 答えは何か一組見つければ良いため,\(a\) , \(b\) には何を代入しても良い.

※ 本問では(2)にて 『 \(x=\) 』,『 \(y=\) 』 の形が必要となり,できるだけ簡単な形で表したかったため, \(mod 13 , 5\) で考えた.もちろん \(mod 7\) としても良い.

(2)

(1)の①,②より,\(x=13a+9\) , \(y=5b+3\) であるから

\(x^2+y^2=(13a+9)^2+(5b+3)^2\)

これが最小となるのは \(| x |\) , \(| y |\) がそれぞれ最小となるときである.

つまり,\(a=b=-1\) のとき \(| x |\) , \(| y |\) が最小値をとるので,

\(( x , y , z ) = ( -4 , -2 , 5 )\) のとき最小値:\((-4)^2+(-2)^2=20\)

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