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【倍数証明】n^pとn^(p+4)の1の位が等しいことの証明|合同式(mod10)

数学(大学入試問題)

【問題】

\(n , p\) を任意の自然数とするとき、

\(n^p\) と \(n^{p+4}\) の1の位が等しいことを証明せよ.

 

考え方・思考の仕方

2つの自然数 \(a , b\) の 1 の位が等しい

2つの自然数 \(a , b\) の 1 の位が等しい

👉 \(a-b\) は 10 の倍数

例えば、764 と 34 は1の位がともに「 4 」で等しい

👉 \(764-34=730\) となり 10 の倍数になる

つまり、差をとって 10 の倍数であることを示せば良い!

言われればそんなに大したPointではないが、知らなかったら方針が立たないため差がつきます!

10の倍数の証明

直接「 10 の倍数」であることを示すのではなく、「 2 の倍数 」かつ「 5 の倍数 」であることを証明すれば良い.

「 2 」と「 5 」が互いに素であるからできる!

倍数の証明といえば、様々な方法はありますが、合同式を利用することは非常に有効な手.

2次試験で数学を使う人は絶対に合同式は使いこなせるようにしておきましょう!

合同式の使い方に不安がある人は、

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考にしてください.

解答

\(n^{p+4}-n^p=n^p(n^4-1)\) ・・・①

①が 10 の倍数であることを示せば良い.

 

(ⅰ)2 の倍数であることの証明について

2 を法として

(ア)\(n≡0\) のとき

\(n^p≡0\) より、①は 2 の倍数

(イ)\(n≡1\) のとき

\(n^4-1≡0\) より、①は 2 の倍数

したがって、①は 2 の倍数

 

(ⅱ)5 の倍数であることの証明について

5 を法として

(ウ)\(n≡0\) のとき

\(n^p≡0\) より、①は 5 の倍数

(エ)\(n≡±1\) のとき

\(n^4-1≡0\) より、①は 5 の倍数

(オ)\(n≡±2\) のとき

\(n^4-1≡15≡0\) より、①は 5 の倍数

したがって、①は 5 の倍数

 

(ⅰ)、(ⅱ)より、

2 と 5 は互いにであるから、①は 10 の倍数.

よって、\(n^p\) と \(n^{p+4}\) の1の位は等しい.

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