【倍数証明】n^pとn^(p+4)の１の位が等しいことの証明｜合同式(mod10)

【問題】

\(n , p\) を任意の自然数とするとき、

\(n^p\) と \(n^{p+4}\) の１の位が等しいことを証明せよ．

考え方・思考の仕方

２つの自然数 \(a , b\) の 1 の位が等しい

👉 \(a-b\) は 10 の倍数

例えば、764 と 34 は１の位がともに「 4 」で等しい

👉 \(764-34=730\) となり 10 の倍数になる

つまり、差をとって 10 の倍数であることを示せば良い！

言われればそんなに大したPointではないが、知らなかったら方針が立たないため差がつきます！

直接「 10 の倍数」であることを示すのではなく、「 2 の倍数」かつ「 5 の倍数」であることを証明すれば良い．

「 2 」と「 5 」が互いに素であるからできる！

倍数の証明といえば、様々な方法はありますが、合同式を利用することは非常に有効な手．

２次試験で数学を使う人は絶対に合同式は使いこなせるようにしておきましょう！

合同式の使い方に不安がある人は、

を参考にしてください．

\(n^{p+4}-n^p=n^p(n^4-1)\) ・・・①

①が 10 の倍数であることを示せば良い．

（ⅰ）2 の倍数であることの証明について

2 を法として

（ア）\(n≡0\) のとき

\(n^p≡0\) より、①は 2 の倍数

（イ）\(n≡1\) のとき

\(n^4-1≡0\) より、①は 2 の倍数

したがって、①は 2 の倍数

（ⅱ）5 の倍数であることの証明について

5 を法として

（ウ）\(n≡0\) のとき

\(n^p≡0\) より、①は 5 の倍数

（エ）\(n≡±1\) のとき

\(n^4-1≡0\) より、①は 5 の倍数

（オ）\(n≡±2\) のとき

\(n^4-1≡15≡0\) より、①は 5 の倍数

したがって、①は 5 の倍数

（ⅰ）、（ⅱ）より、

2 と 5 は互いにであるから、①は 10 の倍数．

よって、\(n^p\) と \(n^{p+4}\) の１の位は等しい．