【2021中央大学(辞書式)】9個の異なる数字から重複なく4桁｜2021番目の数は？

【2021中央大学・文系】

$9$ 個の数字 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ から重複なく $4$ 個を使ってできる $4$ 桁の整数を，小さい順に並べる．

(１)　初めて $2021$ 以上になるのは，何番目か．

(２)　 $2021$ 番目の数を求めよ．

解答・解説

( ⅰ )　千の位が「 $1$ 」のとき

一の位、十の位、百の位は、 $2$ 〜 $9$ の異なる $8$ 個の数から $3$ 個選んで並べればよいので，

$_{8}P_{3}=336$ (個)

( ⅱ )　千の位が「 $2$ 」のとき

最小の数は $2134$

( ⅰ )，( ⅱ )から，初めて $2021$ 以上になるのは， $337$ 番目

$2021=336\times 6+5$ であるから， $2021$ 番目の整数は，

千の位が $7$ である $4$ 桁の整数のうち，小さい方から $5$ 番目の数である．

千の位が $7$ である $4$ 桁の整数を小さい方から順に並べると

$7123$ , $7124$ , $7125$ , $7126$ , $7128$ , $\cdots$

したがって， $2021$ 番目の数は $7128$