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【差がつく・頻出】数学的帰納法(2段仮定)・対称式

数学(大学入試問題)

【2020 広島市立大学 第2問】

\(2\) 次方程式 \(x^2-3x+4=0\) の解を \(\alpha\)、\(\beta\) とし、数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を

\(a_{n}={\alpha}^n+{\beta}^n\) \(( n = 1 , 2 , 3 , \cdots)\)

によって定める.

(1) \(a_{1}\)、\(a_{2}\) の値を求めよ.

(2) \(n\) を \(2\) 以上の自然数とするとき、

\(a_{n+1}-3a_{n}+4a_{n-1}=0\)

が成り立つことを示せ.

(3) すべての自然数 \(n\) について、\(a_{n}\) は奇数であることを示せ.

考え方

Ⅰ.解と係数の関係

\(2\) 次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の \(2\) 解を \(\alpha\)、\(\beta\) とするとき

\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\)、\(\alpha \beta=\displaystyle\frac{c}{a}\)

 

Ⅱ.対称式

・\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \)

\(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n}+\beta^{n})-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta ^{n-1})\)

 

Ⅲ.数学的帰納法(2段仮定)

(ⅰ) \(n = 1 , 2\) のとき

命題が成立することを示す

(ⅱ) \(n = k , k+1\) のとき

命題が成立すると仮定し、\(n=k+2\) のとき命題が成立することを示す

※2段仮定の数学的帰納法と対称式はセットで出題されることが多いため、必ずセットで覚えておきましょう!

解答

【2020 広島市立大学 第2問】

\(2\) 次方程式 \(x^2-3x+4=0\) の解を \(\alpha\)、\(\beta\) とし、数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を

\(a_{n}={\alpha}^n+{\beta}^n\) \(( n = 1 , 2 , 3 , \cdots)\)

によって定める.

(1) \(a_{1}\)、\(a_{2}\) の値を求めよ.

(2) \(n\) を \(2\) 以上の自然数とするとき、

\(a_{n+1}-3a{n}+4a_{n-1}=0\)

が成り立つことを示せ.

(3) すべての自然数 \(n\) について、\(a_{n}\) は奇数であることを示せ.

(1) 解答

\(2\) 次方程式 \(x^2-3x+4=0\) の解が \(\alpha\)、\(\beta\) より

解と係数の関係より

\(\alpha+\beta=3\)、\(\alpha \beta=4\) ・・・ ①

\(a_{1}=\alpha+\beta =3\)

\(a_{2}= \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3^2-2\times4=1 \)

(2) 解答

\(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n}+\beta^{n})-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \) より

(1)の①を代入すると

\(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=3(\alpha^{n}+\beta^{n})-4(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \)

よって、\(a_{n+1}=3a_{n}-4a_{n-1}\)

したがって、\(a_{n+1}-3a_{n}+4a_{n-1}=0\)

(3) 解答

(ⅰ) \( n = 1 , 2\) のとき

(1)より \(a_{1}=3\)、\(a_{2}=1\) なのでともに奇数となり成立する

 

(ⅱ) \(n = k , k+1\) のとき

\(a_{n}\) が奇数であると仮定する

つまり、整数 \(x\)、\(y\) を用いて \(a_{k}=2x-1\)、\(a_{k+1}=2y-1\) とおける.

(2)より、\(a_{k+2}=3a_{k+1}-4a_{k}\)

仮定より

\(a_{k+2}=3(2x-1)-4(2y-1)=2(3x-4y)+1\)

\(3x-4y\) は整数なので、\(a_{k+2}\) は奇数となる

したがって、\(n=k+2\) のときも成立する

(ⅰ)、(ⅱ)よりすべての自然数 \(n\) について、\(a_{n}\) は奇数である

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