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【数学オリンピック】場合の数:ちょうど1 組の2 つの同じで,千の桁が3である4 桁の自然数

数学(大学入試問題)

【1999国際数学競技会】

ちょうど1 組の2 つの同じ数が現れる4 桁の数は「良い数」であると言うことにする.

例えば、3445 や3231 は良い数であるが、3443 や3233 は良い数ではない.

千の桁が3 である4 桁の自然数のうちで、良い数は何個あるか.

はじめに

数学オリンピックの問題と聞くとすごく難しいイメージがあるかもしれませんが、良問が多く、思考力が身につく問題がたくさんあります。

今回の問題は、数学オリンピックの中でも易しめの問題で、中学生でも解ける場合の数の良問。

PやCに頼らずとも解けます。

大学受験でそのまま出題されても良い問題ですので、演習問題として是非取り組んで見て下さい!


解答

百の位を \(A\),十の位を \(B\),一の位を \(C\) と呼ぶ.

 

(ア) \(A\),\(B\),\(C\) のうち

\(1\) つが「\(3\)」,残り \(2\) つが「\(3\)」以外のとき

 

\(A\),\(B\),\(C\) のうちどれを「\(3\)」にするかで \(3\) 通り.

仮に \(A=3\) とするとき,

\(B\) は「\(3\)」以外・・・\(9\) 通り

\(C\) は「\(3\)」と「\(B\)」以外・・・\(8\) 通り

 

よって,\(3\times 9\times 8=216\) 通り

 

(イ) \(A\),\(B\),\(C\) のうち \(2\) つが「\(3\)」以外で等しいとき

\(A\),\(B\),\(C\) のうちどの \(2\) つが等しいかの \(3\) 通り.

仮に \(A=B\) とする.

\(A\),\(B\) の数字の選び方は,「\(3\)」以外の \(9\) 通り.

\(C\) は「\(3\)」と「\(A\),\(B\)」以外・・・\(8\) 通り

 

よって,\(3\times 9\times 8=216\) 通り

したがって,\(216+216=432\) 通り

 

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