【2003京都大学】1の虚数立方根w(オメガ)、因数定理

【2003京都大学・理・第４問】

多項式 \((x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1\) は多項式 \(x^2+x+1\) で割り切れるか．

\(1\) の立方根： \(\omega\) (オメガ)とは？

\(1\) の立方根 ( \(3\) 乗根 ) のうち，虚数解の \(1\) つを \(\omega\) (オメガ) と表す．

\(3\) つの性質

１．\(\omega^3=1\)

２．\(\omega^2+\omega+1=0\)

３．周期性をもつ（ \(1\) , \(\omega\) , \(\omega^2\) を繰り返す )

性質についての証明は，

を確認してください。

\(x^2+x+1=0\) は共役な虚数解をもち，それを \(x=\omega,\overline{\omega}\) とおく．

\(\omega\) は \(1\) の \(3\) 乗根のうち虚数解の \(1\) つであるから

\(\omega^3=1\) , \(\omega^2+\omega+1=0\) をみたす．

ここで，

\(\omega^{100}+1=(\omega^3)^{33}\cdot\omega+1=\omega+1=-\omega^2\) より

\((\omega^{100}+1)^{100}=(-\omega^2)^{100}=\omega^{200}=(\omega^3)^{66}\cdot\omega^2=\omega^2\)

また，

\((\omega^2+1)^{100}=(-\omega)^{100}=\omega^{100}=\omega\) であるから

\(f(x)=(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1\) とおくと

\(f(\omega)=(\omega^{100}+1)^{100}+(\omega^2+1)^{100}+1\)

\(=\omega^2+\omega+1=0\)

\(f(x)\) は実数係数の多項式より

\(f(\overline{\omega})=\overline{f(\omega)}=\overline{0}=0\)

したがって，\(f(x)\) は \((x-\omega)(x-\overline{\omega})=x^2+x+1\) で割り切れる．