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2017 京都大学の類題|さいころ・確率・最大値と最小値の差

数学(大学入試問題)

\(n\) 個のさいころを同時に振り、出た目の数の最大のものを \(M\)、最小のものを \(m\) とするとき、\(M-m>1\) となる確率を求めよ.



考え方【余事象の利用】

\(M-m>1\) を満たすのは、\(M-m =  2 , 3 , 4 , 5\) のいずれか

もちろん \(4\) つの場合分けをしても良いが、少し大変・・・。

☞ 余事象の利用!

\(M-m≦1\) を満たすもの、

つまり、\(M-m = 0 , 1\) を考え、全体から引けばよい.

場合の数・確率の解法は大きく分けると \(2\) つ!

それは、正攻法(そのまま考える) or 余事象(全体からじゃない方を除く)

余事象を使うタイミングは、

「正攻法で考えたときに大変だったら」と覚えておこう!

※問題集などで、「少なくとも~」を見たら余事象!というPointを見かけたりする.

もちろん嘘ではないし、「少なくとも~」があれば余事象を使うことが多いのは事実。

そもそも「少なくとも~」とある問題に関しては、複数の場合分けが発生することが多く、正攻法で考えると大変だから余事象を考えている.

また、ただ場合分けが多いからと言って闇雲に余事象を使うのも実は危険!

例えば、

① 場合分けはたくさんだが、\(1\) つ \(1\) つはめっちゃ簡単な問題

② 場合分けはないが、劇ムズ問題
①も②もどっちも点数は同じだとして、入試本番でみなさんだったらどっちを解きますか??
私の場合、間違いなく①を解きます.
つまり、どんな問題であっても、「正攻法」と「余事象」の両方を考える癖をつけ、「より負担の少ない方で解く」ことが選べるようになることが大切です!

解答

(ア) \(M-m=0\) のとき
つまり、\(n\) 個のさいころ全て同じ目が出ると言うことであるから、\(6\) 通り

(イ) \(M-m=1\) のとき

\(( M , m )=( 6 , 5 ) , ( 5 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 2 , 1 )\) の \(5\) 通りある.
\(( M , m )=( 6 , 5 )\) となるとき
\(n\) 個のさいころすべてが「\(5\) の目 または  \(6\) の目」
(ただし、\(n\) 個すべてが同じ目になるものは除く)
つまり、\(2^n-2\) 通り
\(( M , m )=( 5 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 2 ) , ( 2 , 1 )\) のときも同様であるから、
\(5(2^n-2)\) 通り
(ア)、(イ)より、求める確率は
\(1-\displaystyle\frac{6+5(2^n-2)}{6^n}=\displaystyle\frac{6^n-5\cdot2^n+4}{6^n}\)

参考【正攻法で考える】

上では余事象を使って考えたが、演習として正攻法で解くとどうなるかを考えてみよう!

\(1\) つのやり方が分かれば他は同様に処理できるため、ここでは

\(M-n=5\) のときを例にとって行ってみる.

\(M-n=5\) のときの確率

\(M-n=5\) となるのは、

\(( M , m )=( 6 , 1 )\) のときのみ
ここで、
事象 \(A\):少なくと も\(1\) 回は \(6\) の目が出る
事象 \(B\):少なくと も\(1\) 回は \(1\) の目が出る
とおくと、求める確率は \(P(A \cap B)\)
よって、
\(P(A \cap B)=1-P(\overline{A\cap B})=1-P(\bar{A} \cup \bar{B})\)
ここで、
\(P(\bar{A} \cup \bar{B})=P(\bar{A})+P(\bar{B})-P(\bar{A}\cap\bar{B})\)
つまり、( \(6\) の目が出ない)+( \(1\) の目が出ない)ー( \(1\) も \(6\) も出ない)
よって、
\(P(\bar{A} \cup \bar{B})=\displaystyle\frac{5^n+5^n-4^n}{6^n}=\displaystyle\frac{2\cdot 5^n-4^n}{6^n}\)
したがって求める確率は、
\(P(A \cap B)=1-\displaystyle\frac{2\cdot 5^n-4^n}{6^n}=\displaystyle\frac{6^n-2\cdot 5^n+4^n}{6^n}\)

2017京都大学・文系

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする.さいころを \(n\) 回振り、出た目の最大値を \(M\) と最小値を \(L\) の差 \(M-L\) を \(X\) とする.

(1) \(X=1\) である確率を求めよ.
(2) \(X=5\) である確率を求めよ.
(1)は余事象で考えた(イ)のこと
(2)は参考で紹介した解法です.

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