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【漸化式4】隣接二項間特性方程式|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

4.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=3a_{n}-2\)

【演習問題】

① \(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}-3\)

② \(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=2a_{n}+3\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

その中でも,最重要・頻出の隣接二項間特性方程式の解法まとめページになります。

パターン4.隣接二項間特製方程式型

\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p ≠ 1\) ,  \(q ≠ 0\)  )

👉 \(a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)\)

ただし \(\alpha\) は特性方程式「 \(\alpha=p\alpha+q\) 」を満たす値

※ \(p = 1\) のときは,等差数列型(パターン1)

※ \(q = 0\) のときは,等比数列型(パターン2)

4.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=3a_{n}-2\)
\(\alpha=3\alpha-2\) \(\iff\) \(\alpha=1\) より
\(a_{n+1}=3a_{n}-2\) \(\iff\) \(a_{n+1}-1=3(a_{n}-1)\)
数列 \(\left\{ a_{n}-1 \right\}\) は,初項が \(a_{1}-1=1\) , 公比が \(3\) の等比数列であるから,
\(a_{n}-1=1\cdot 3^{n-1}\) \(\iff\) \(a_{n}=3^{n-1}+1\)

(※ 一般的に,特性方程式の計算( \(\alpha\) を求める作業 ) は記述しない)

【演習問題】解答

① \(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}-3\)

② \(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=2a_{n}+3\)

① \(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}-3\)

\(\alpha=4\alpha-3\) \(\iff\) \(\alpha=1\) より
\(a_{n+1}=4a_{n}-3\) \(\iff\) \(a_{n+1}-1=4(a_{n}-1)\)
数列 \(\left\{ a_{n}-1 \right\}\) は,初項が \(a_{1}-1=1\) , 公比が \(4\) の等比数列であるから,
\(a_{n}-1=1\cdot 4^{n-1}\) \(\iff\) \(a_{n}=4^{n-1}+1\)

 

② \(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=2a_{n}+3\)

\(\alpha=2\alpha+3\) \(\iff\) \(\alpha=-3\) より
\(a_{n+1}=2a_{n}+3\) \(\iff\) \(a_{n+1}+3=2(a_{n}+3)\)
数列 \(\left\{ a_{n}+3 \right\}\) は,初項が \(a_{1}+3=5\) , 公比が \(2\) の等比数列であるから,
\(a_{n}+3=5\cdot 2^{n-1}\) \(\iff\) \(a_{n}=5\cdot 2^{n-1}-3\)

 

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