【名古屋市立大】
実数 \(x\) , \(y\) が \(\sin x+\sin y=1\) を満たして変化するとき
\(\cos x+\cos y\) のとり得る値の範囲を求めよ．
解答・解説
「実数 \(x\) , \(y\) が，\(\sin x+\sin y=1\) を満たして変化するとき，\(\cos x+\cos y=a\) となる」
\(\iff\) \(\begin{cases} \sin x+\sin y=1\\\cos x+\cos y=a\end{cases}\)
を満たす実数 \(x\) , \(y\) が存在する．
\(\sin^2y+\cos^2y=1\) より
\((1-\sin x)^2+(a-\cos x)^2y=1\)
\(\iff\) \(\sin x+a\cos x=\displaystyle\frac{a^2+1}{2}\)
\(\iff\) \(\sqrt{a^2+1}\sin (x+\alpha)=\displaystyle\frac{a^2+1}{2}\)
\(\iff\) \(\sin (x+\alpha)=\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+1}}{2}\)
ただし，\(\sin \alpha=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\) , \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)
\(\sin (x+\alpha)≦1\) より
\(\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+1}}{2}≦1\)
よって \(a^2≦3\)
\(-\sqrt{3}≦a≦\sqrt{3}\)
したがって，\(-\sqrt{3}≦\cos x+\cos y≦\sqrt{3}\)
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