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【頻出・微分(数Ⅱ)】定数分離型・外部の点から3次関数のグラフに接線が何本引けるか?

数学(大学入試問題)

【2021名城大学】

関数 \(f(x)=x^3-3x^2+4\) を考える.\(xy\) 平面上に曲線 \(C\) : \(y=f(x)\) について,次の問に答えよ.

(1) \(C\) 上の点 \(P (p,p^3-3p^2+4)\) における接線 \(l\) の方程式を \(p\) を用いて表せ.

(2) 点 \(A(0,a)\) ( ただし,\(a\) は実数 ) を通る \(C\) の接線の本数を求めよ.

接線の方程式

曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \(A(a,f(a))\) における曲線の接線の方程式は

\(y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\)

(1)解答

\(f(x)=x^3-3x^2+4\)

\(f^{\prime}(x)=3x^2-6x\) より,\(l\) の方程式は

\(y-(p^3-3p^2+4)=(3p^2-6p)(x-p)\)

\(y=(3p^2-6p)x-2p^3+3p^2+4\)

接線何本引けるか問題

考え方

(1)より \(y=(3p^2-6p)x-2p^3+3p^2+4\) が 点 \(A(0,a)\) を通るので,

\(a=-2p^3+3p^2+4\) ・・・①

ここから何をしたらいいの・・・?

①は \(p\) の \(3\) 次方程式となりますね!

 

つまり,方程式だからこれを解くと,

\(p =\)○,△,□ のように解を \(1\) 〜 \(3\) 個持つってことですね!

その解は何を意味するの??

その通りです!

そもそも \(p\) は接点の \(x\) 座標のことですから・・・

接点の個数が分かれば,接線の本数もわかる!

当然,「接点の個数」と「接線の本数」は同じですね!

厳密には一致しない場合があるけど・・・

まあそれは少し難しい話なので,ここではスルー!

少なくとも \(3\) 次関数を扱うときは必ず

「接点の個数」と「接線の本数」は一致するので,まとめると

「①の方程式の解の個数」と「接線の本数」が一致するということです。

つまり,\(a=-2p^3+3p^2+4\) ・・・①

の解の個数を考えればいいから,

両辺のグラフを考えて,交点の個数を確認すればいいですね!

 

\(\begin{cases}y=a\\y=-2p^3+3p^2+4\end{cases}\)

としてグラフをかいて交点の個数を確認しましょう!

このように,\(a=(p\) の式) の形にしてから考える方法を「定数分離型」と言います!

(2)解答

(1)より \(y=(3p^2-6p)x-2p^3+3p^2+4\) が 点 \(A(0,a)\) を通るので,

\(a=-2p^3+3p^2+4\) ・・・①

\(y=f(x)\) は \(3\) 次関数であるから,

①の実数解の実数解は,接点の \(x\) 座標を表すので,

①の実数解の個数と,点 \(A(0,a)\) ( ただし,\(a\) は実数 ) を通る \(C\) の接線の本数は一致する.

よって,

\(\begin{cases}y=a\\y=-2p^3+3p^2+4\end{cases}\)

の \(2\) つのグラフの交点の個数を考えればよい.

\(g(p)=-2p^3+3p^2+4\) とおくと

\(g^{\prime}(p)=-6p^2+6p=-6p(p-1)\)

\(g(0)=4\) , \(g(1)=5\) より,\(y=g(p)\) のグラフは右図のようになるため,

このグラフと \(y=a\) の共有点の個数に注目すると,

求める接線の本数は,

\(a<4\) または \(5<a\) のとき \(1\) 本

\(a=4\) , \(5\) のとき \(2\) 本

\(4<a<5\) のとき \(3\) 本

【2019早稲田大学・教育】非定数分離型・異なる3つの実数解を持つ条件
3次方程式が異なる3つの実数解を持つための条件。定数分離できないときは、①極値が存在する条件②(極大値)×(極小値)<0[極値が異符号となる] 2019早大過去問演習。2次試験対策。微分・最頻出重要良問。

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