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2019徳島大学-医歯薬|n^2(n^2+8)の正の約数が10個となるn[整数問題]

数学(大学入試問題)

【2019徳島大学ー医歯薬】

自然数 \(n\) に対して、\(f(n)=n^2(n^2+8)\) と定める.

\(f(n)\) の正の約数の個数が \(10\) 個であるような \(n\) をすべて求めよ.

考え方・方針の立て方

正の約数の個数について

自然数 \(N\) が \(N=a^x b^y c^z \cdots\) と素因数分解できるとき、

\(N\) の正の約数の個数は、\((x+1)(y+1)(z+1)\cdots\) となる.

このことから、正の約数の個数が \(10\) 個のとき、異なる素数 \(p\)、\(q\) を用いて、

\(p^9\) または \(p^4\times q\) の形のいずれかになる.

 

平方数・指数はmod 3,4,5,8 が有効

難関大学ではよく出題されるPointの1つ!

まずは下の表を見てください。

  • mod 3 ➡ 「0、1」のみ
  • mod 4 ➡ 「0、1」のみ
  • mod 5 ➡ 「0、1、4」のみ
  • mod 8 ➡ 「0、1、4」のみ

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ここで、\(mod 3\) として考えると、

・\(n≡0\) のとき、\(n^2≡0\)、\(n^2+8≡2\)

・\(n≡\pm1\) のとき、\(n^2≡1\)、\(n^2+8≡0\)

であるから、\(n^2\) と \(n^2+8\) のいずれか一方は \(3\) の倍数で、もう一方は \(3\) の倍数とならない.

\(f(n)\) は少なくとも \(3\) を約数に持つことが分かったので、

\(f(n)=\)\(3^9\) または \(3^4\times q\) または \(p^4\times 3\) の形のいずれか

解答

【2019徳島大学ー医歯薬】

自然数 \(n\) に対して、\(f(n)=n^2(n^2+8)\) と定める.

\(f(n)\) の正の約数の個数が \(10\) 個であるような \(n\) をすべて求めよ.

\(mod 3\) として考えると、

・\(n≡0\) のとき、\(n^2≡0\)、\(n^2+8≡2\)

・\(n≡\pm1\) のとき、\(n^2≡1\)、\(n^2+8≡0\)

であるから、\(n^2\) と \(n^2+8\) のいずれか一方は \(3\) の倍数で、もう一方は \(3\) の倍数とならない・・・①

\(f(n)\) の正の約数の個数が \(10\) 個であるから、異なる素数 \(p\)、\(q\) を用いて、

\(f(n)=\)\(3^9\) または \(3^4\times q\) または \(p^4\times 3\) の形のいずれか.

 

(ア) \(f(n)=\)\(3^9\) のとき

\(n^2<n^2+8\) かつ ① より

\(\begin{cases}n^2=1\\n^2+8=3^9 \end{cases}\)

しかしこの \(2\) 式を同時に満たす自然数 \(n\) は存在しないため不適

 

(イ) \(f(n)=\)\(3^4\times q\) のとき

\(n^2<n^2+8\) かつ ① かつ \(n^2\)(平方数) であることに注意すると、

(ⅰ) \(\begin{cases}n^2=1\\n^2+8=3^4\times q \end{cases}\) のとき

これを解くと、\(n=1\)、\(q=\displaystyle\frac{1}{9}\) となり、\(q\) が素数であることに反する.

(ⅱ) \(\begin{cases}n^2=3^4\\n^2+8=q \end{cases}\) のとき

これを解くと、\(n=9\)、\(q=89\) となり条件に適する.

 

(ウ) \(f(n)=\)\(p^4\times 3\) のとき

\(n^2<n^2+8\) かつ ① かつ \(n^2\)(平方数) であることに注意すると、

(ⅰ) \(\begin{cases}n^2=1\\n^2+8=p^4\times 3 \end{cases}\) のとき

これを解くと、\(n=1\)、\(p^4=3\) となり、これを満たす自然数 \(p\) が存在しない.

(ⅱ) \(\begin{cases}n^2=p^2\\n^2+8=p^2\times 3 \end{cases}\) のとき

これを解くと、\(p=n=2\) となり条件に適する.

(ⅲ) \(\begin{cases}n^2=p^4\\n^2+8=3 \end{cases}\) のとき

これを解くと、\(n^2=-5\) となりこれを満たす自然数は存在しないため不適.

したがって、求める \(n= 2 , 9\)

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