【2021北海道大学】
初項から第 n 項までの和 S_{n} が
S_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7) ( n = 1 , 2, 3 , \cdots )
で表される数列 \left\{ a_{n}\right\} がある．
(１) \left\{ a_{n}\right\} の一般項を求めよ．
(２) \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}} を求めよ．
(１)和と一般項の関係について
( ⅰ ) n=1 のとき a_{1}=S_{1}
( ⅱ ) n≧2 のとき a_{n}=S_{n}-S_{n-1}
S_{n-1} を扱うため， n≧2 であること。
最後に n=1 のときに一致するかどうかの確認を忘れないように！
(１)解答・解説
n≧2 のとき
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}
=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)-\displaystyle\frac{1}{6}(n-1)n\left\{2(n-1)+7\right\}
=\displaystyle\frac{1}{6}n\left\{(n+1)(2n+7)-(n-1)(2n+5)\right\}
よって，a_{n}=n(n+2) ・・・①
また，n=1 のとき
a_{1}=S_{1}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 9=3 であり
①において n=1 とすると
a_{1}=1\cdot 3=3 となり一致する
したがって，a_{n}=n(n+2)
(２)部分分数分解
(１)より a_{n}=n(n+2) より
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}}
分母に積の形 ⇒ (差)分数分解
\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right) であることを利用
\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{a}{k}+\displaystyle\frac{b}{k+2} とおくと
\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{a(k+2)+bk}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{(a+b)k+2a}{k(k+2)}
分子の係数比較をすると，a+b=0 かつ 2a=1
よって，a=\displaystyle\frac{1}{2} , b=-\displaystyle\frac{1}{2} であるから，
\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)
(２)解答・解説
n≧2 のとき
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)}
=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\left(1-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{6}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{7}\right)\\+\cdots+\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\right\}
k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n を代入して和を考えるが，
本問では k = n-1 を代入した形の \left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right) が必要となる．
そのため，n≧2 の条件が必要になるので，最後に n=1 のときの確認を！
=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)
=\displaystyle\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} ・・・②
n=1 のとき
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{1}{a_{1}}=\displaystyle\frac{1}{3} であり
②に n=1 を代入すると
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{1\cdot 8}{4\cdot 2\cdot 3}=\displaystyle\frac{1}{3} となり一致する．
したがって，\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}
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