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【2021北海道大学】和と一般項(Snとan),部分分数分解|数学B:数列

数学(大学入試問題)

【2021北海道大学】

初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_{n}\) が

\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\)   ( \(n = 1 , 2, 3 , \cdots\) )

で表される数列 \(\left\{ a_{n}\right\}\) がある.

(1) \(\left\{ a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ.

(2) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}\) を求めよ.

(1)和と一般項の関係について

( ⅰ ) \(n=1\) のとき  \(a_{1}=S_{1}\) 

( ⅱ ) \(n≧2\) のとき \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) 

\(S_{n-1}\) を扱うため, \(n≧2\) であること。

最後に \(n=1\) のときに一致するかどうかの確認を忘れないように!

(1)解答・解説

\(n≧2\) のとき

\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)-\displaystyle\frac{1}{6}(n-1)n\left\{2(n-1)+7\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}n\left\{(n+1)(2n+7)-(n-1)(2n+5)\right\}\)

よって,\(a_{n}=n(n+2)\) ・・・①

また,\(n=1\) のとき

\(a_{1}=S_{1}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 9=3\) であり

①において \(n=1\) とすると

\(a_{1}=1\cdot 3=3\) となり一致する

したがって,\(a_{n}=n(n+2)\)

(2)部分分数分解

(1)より \(a_{n}=n(n+2)\) より

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}}\)

分母に積の形 ⇒ (差)分数分解

\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)\) であることを利用

\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{a}{k}+\displaystyle\frac{b}{k+2}\) とおくと

\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{a(k+2)+bk}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{(a+b)k+2a}{k(k+2)}\)

分子の係数比較をすると,\(a+b=0\) かつ \(2a=1\)

よって,\(a=\displaystyle\frac{1}{2}\) , \(b=-\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから,

\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)\)

(2)解答・解説

\(n≧2\) のとき

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\left(1-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{6}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{7}\right)\\+\cdots+\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\right\}\)

\(k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n\) を代入して和を考えるが,

本問では \(k = n-1\) を代入した形の \(\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\) が必要となる.

そのため,\(n≧2\) の条件が必要になるので,最後に \(n=1\) のときの確認を!

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\)

\(=\displaystyle\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\) ・・・②

\(n=1\) のとき

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{1}{a_{1}}=\displaystyle\frac{1}{3}\) であり

②に \(n=1\) を代入すると

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{1\cdot 8}{4\cdot 2\cdot 3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) となり一致する.

したがって,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\)

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