【2021北海道大学】
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_{n}\) が
\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\) ( \(n = 1 , 2, 3 , \cdots\) )
で表される数列 \(\left\{ a_{n}\right\}\) がある．
(１) \(\left\{ a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
(２) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}\) を求めよ．
(１)和と一般項の関係について
( ⅰ ) \(n=1\) のとき \(a_{1}=S_{1}\)
( ⅱ ) \(n≧2\) のとき \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)
\(S_{n-1}\) を扱うため， \(n≧2\) であること。
最後に \(n=1\) のときに一致するかどうかの確認を忘れないように！
(１)解答・解説
\(n≧2\) のとき
\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)-\displaystyle\frac{1}{6}(n-1)n\left\{2(n-1)+7\right\}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}n\left\{(n+1)(2n+7)-(n-1)(2n+5)\right\}\)
よって，\(a_{n}=n(n+2)\) ・・・①
また，\(n=1\) のとき
\(a_{1}=S_{1}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 9=3\) であり
①において \(n=1\) とすると
\(a_{1}=1\cdot 3=3\) となり一致する
したがって，\(a_{n}=n(n+2)\)
(２)部分分数分解
(１)より \(a_{n}=n(n+2)\) より
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}}\)
分母に積の形 ⇒ (差)分数分解
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)\) であることを利用
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{a}{k}+\displaystyle\frac{b}{k+2}\) とおくと
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{a(k+2)+bk}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{(a+b)k+2a}{k(k+2)}\)
分子の係数比較をすると，\(a+b=0\) かつ \(2a=1\)
よって，\(a=\displaystyle\frac{1}{2}\) , \(b=-\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから，
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)\)
(２)解答・解説
\(n≧2\) のとき
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{k(k+2)}}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+2}\right)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\left(1-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{6}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{1}{7}\right)\\+\cdots+\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\right\}\)
\(k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n\) を代入して和を考えるが，
本問では \(k = n-1\) を代入した形の \(\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\) が必要となる．
そのため，\(n≧2\) の条件が必要になるので，最後に \(n=1\) のときの確認を！
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\) ・・・②
\(n=1\) のとき
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{1}{a_{1}}=\displaystyle\frac{1}{3}\) であり
②に \(n=1\) を代入すると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{1\cdot 8}{4\cdot 2\cdot 3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) となり一致する．
したがって，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}=\displaystyle\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\)
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