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【2021京都教育大学】倍数証明・命題(十分条件だが必要条件でない)証明

数学(大学入試問題)

【2021京都教育大学】

\(n\) は自然数とする.

(1) \(n\) が偶数であることは、\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数であるための

十分条件であることを証明せよ.

(2) \(n\) が偶数であることは、\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数であるための

必要条件ではないことを証明せよ.

(1)考え方・解答

考え方

\(n\) が偶数であることは、\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数であるための十分条件であるとは、

「\(n\) が偶数」 \(\Rightarrow\) 「\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数」

の命題が真であるということです.

\(24\) の倍数 \(\iff\) 『\(3\) の倍数』 かつ『\(8\) の倍数』を示せば良い

※ \(3\) と \(8\) は互いに素であるから、それぞれ分けて考えれば良い!

解答

初めに、\(n\)、\(n+1\)、\(n+2\) は連続する\(3\) つの整数であるから、この中のいずれかは \(3\) の倍数となる.

次に\(n\) は偶数であるから、正の整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) とおける.

\(n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(k+1)(2k+1)\)

\(k(k+1)\) は連続する \(2\) つの整数の積であるから \(2\) の倍数.

つまり、\(n(n+1)(n+2)=4k(k+1)(2k+1)\) は \(8\) の倍数となる.

\(3\) と \(8\) は互いに素であるから、\(n\) が偶数であるとき \(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数.

(2)考え方・解答

考え方

\(n\) が偶数であることは、\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数であるための十分条件であるとは、

「\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数」 \(\Rightarrow\) 「\(n\) が偶数」

の命題が偽であるということです.

命題がであることを示したいときは、反例を1つ見つければよい!
つまり、\(n(n+1)(n+2)\) は\(24\) の倍数になるが、\(n\) が奇数となるような \(n\) を \(1\) つ見つければ良い.

解答

\(n=23\) とする.

このとき、\(n+1=24\) であるから、\(n(n+1)(n+2)\) は \(24\) の倍数である.

しかし \(n\) は奇数であるので、これは命題

「\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数」 \(\Rightarrow\) 「\(n\) が偶数」

の反例となる.

したがって、\(n\) が偶数であることは、\(n(n+1)(n+2)\) が \(24\) の倍数であるための必要条件ではない.

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