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【2021北海道大学・文】三角関数の方程式|sin(x+π/2)=cosx,2倍角の公式の利用

数学(大学入試問題)

【2021北海道大学・文】

実数 \(x\) に対して,\(f(x)=\sqrt{3}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+2\sin^2\left(x+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)+4\cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) とおく.

(1) \(t=\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) とおく.\(\sin^2\left(x+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\) と \(\cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) をそれぞれ \(t\) の式で表せ.

(2) \(0≦x≦\pi\) のとき,方程式 \(f(x)=0\) の解をすべて求めよ.

解答・解説

(1) \(\sin^2\left(x+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\) を \(t\) の式で表せ.

\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left\{\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right\}=\cos\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) より

\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta\) の公式を利用した!

\(\sin^2\left(x+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=\cos^2\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=1-\sin^2\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\)

よって,\(\sin^2\left(x+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=1-t^2\)

(1) \(\cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) を \(t\) の式で表せ.

\(\cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos2\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\)

\(2\) 倍角の公式

\(\cos 2 \theta=1-2\sin^2 \theta\) を利用しよう!

\(\cos2\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=1-2\sin^2\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\)

よって,\(\cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=1-2t^2\)

(2)\(0≦x≦\pi\) のとき,方程式 \(f(x)=0\) の解

(1)の結果より

\(f(x)=\sqrt{3}t+2(1-t^2)+4(1-2t^2)\)

\(=-10t^2+\sqrt{3}t+6\)

\(f(x)=0\) のとき

\(10t^2-\sqrt{3}t-6=0\)

\((5t+2\sqrt{3})(2t-\sqrt{3})=0\)

\(t=-\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{5} , \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ここで,\(0≦x≦\pi\) のとき

\(\displaystyle\frac{\pi}{6}≦x+\displaystyle\frac{\pi}{6}≦\displaystyle\frac{7\pi}{6}\) ・・・①

よって,\(-\displaystyle\frac{1}{2}≦\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)≦1\)

つまり,\(-\displaystyle\frac{1}{2}≦t≦1\) より

\(t=-\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{5}\) は不適

ゆえに,\(t=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

①より,\(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\pi}{3} , \displaystyle\frac{2\pi}{3}\)

したがって,\(x=\displaystyle\frac{\pi}{6} , \displaystyle\frac{\pi}{2}\)

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