【2021岡山大学・理系】a^3+b^3+c^3=(c+1)^3を満たす10以下の正の整数

解答・解説

(１)　合同式の利用

倍数や余りについては，合同式を利用することで解答が簡略化できます！

整数問題を扱う上で合同式は必須アイテムですから，不安な方は

「合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」

「合同式（基本編）基本的な問題で合同式を使う練習」

を参考に！

 

以下，\(mod 6\) として考える．

(ア)　\(n≡0\) のとき，\(n^3≡0\) より成り立つ．

(イ)　\(n≡\pm 1\) のとき，\(n^3≡\pm 1\) (複号同順)より成り立つ．

(ウ)　\(n≡\pm 2\) のとき，\(n^3≡\pm 8≡\pm 2\) (複号同順)より成り立つ．

(エ)　\(n≡3\) のとき，\(n^3≡27≡3\) より成り立つ．

以上より，題意は成立する．

(２)　合同式の利用

以下，\(mod 6\) として考える．

\(a^3+b^3+c^3=(c+1)^3\) より

\(a^3+b^3=3c^2+3c+1=3c(c+1)+1\)

\(c\) は整数より，\(c(c+1)\) は連続する \(2\) 整数の積であるから，\(2\) の倍数となる．

よって，\(3c(c+1)≡0\) であるから，

\(a^3+b^3≡1\) が成立する．

また(１)の結果から，\(a^3≡a\)，\(b^3≡b\) より

\(a+b≡1\)

以上より，題意は成立する．

(３)

\(2≦a+b≦20\) かつ \(a+b≡1\) \((mod 6)\) より

\(a+b=7,13,19\) のいずれかとなる．

( ⅰ )　\(a+b=7\) のとき

\((a,b)=(1,6),(2,5),(3,4)\) のいずれか．

それぞれを ( ※ ) に代入する

・\((a,b)=(1,6)\) のとき

\(1^3+6^3+c^3=(c+1)^3\) かつ \(6≦c≦10\) より

\(c=8\)

・\((a,b)=(2,5)\) のとき

\(2^3+5^3+c^3=(c+1)^3\) かつ \(5≦c≦10\) より

これを満たす整数 \(c\) は存在しない．

・\((a,b)=(3,4)\) のとき

\(3^3+4^3+c^3=(c+1)^3\) かつ \(4≦c≦10\) より

\(c=5\)

( ⅱ )　\(a+b=13\) のとき

\((a,b)=(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)\) のいずれか．

それぞれを ( ※ ) に代入すると，それぞれを満たす \(c\) は存在しない．

( ⅲ )　\(a+b=19\) のとき

\((a,b)=(9,10)\)

これを ( ※ ) に代入すると，\(c\) は存在しない．

( ⅰ )〜( ⅲ ) より，\((a,b,c)=(1,6,8),(3,4,5)\)