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【2020東京工業大学・第1問】| x^2-x-23 | ≡ 2(mod3)となる正整数x[合同式・素数]

数学(大学入試問題)

【2020東京工業大学・第1問】

(1) \(| x^2-x-23 |\) の値が,\(3\) を法として \(2\) に合同である正の整数 \(x\) をすべて求めよ.

(2) \(k\) 個の連続した正の整数 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{k}\) に対して,

\(| x_{j}^2-x_{j}-23 |\)   ( \(1≦j≦k\) )

の値がすべて素数になる \(k\) の最大値と,その \(k\) に対する連続した正の整数

\(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{k}\) をすべて求めよ.

考え方

合同式について

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです!

不安がある方、未履修の方は

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考に合同式についてマスターしましょう!

絶対値について

与式には絶対値があるため,まず初めに絶対値を外す.

つまり,\(x^2-x-23<0\) の場合,\(x^2-x-23≧0\) の場合についての \(x\) の値を考える.

\(x^2-x-23<0\) のとき

\(\displaystyle\frac{1-\sqrt{93}}{2}<x<\displaystyle\frac{1+\sqrt{93}}{2}\)

\(x>0\) より \(0<x<\displaystyle\frac{1+\sqrt{93}}{2}\)

\(9<\sqrt{93}<10\) より \(5<\displaystyle\frac{1+\sqrt{93}}{2}<5.5\) で,

\(x\) は整数であるから \(x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5\)

したがって,\(f(x)=x^2-x-23\) とおくと

\(1≦x≦5\) のとき \(| f(x) | = -f(x)\)

\(x≧6\) のとき \(| f(x) | = f(x)\)

解答

(1)

(1) \(| x^2-x-23 |\) の値が,\(3\) を法として \(2\) に合同である正の整数 \(x\) をすべて求めよ.

\(f(x)=x^2-x-23\) とおき,以下すべて mod 3 とする.

( ⅰ ) \(1≦x≦5\) のとき

\(| f(x) |=-f(x)\) より

\(f(x)=-x^2+x+23≡-x(x-1)+2\)

ここで,\(| f(x) |≡2\) となるのは

\(-x(x-1)≡0\) ・・・①

\(1≦x≦5\) かつ ①を満たす整数 \(x\) は \(x = 1 , 3 , 4\)

( ⅱ ) \(x≧6\) のとき

\(| f(x) | = f(x)\) より

\(f(x)=x^2-x-23≡x(x-1)+1\)

・\(x≡0\) のとき \(x(x-1)+1≡1\)

・\(x≡1\) のとき \(x(x-1)+1≡1\)

・\(x≡2\) のとき \(x(x-1)+1≡0\) となり

\(| f(x) |≡2\) となる整数 \(x\) は存在しない

したがって,\(x = 1 , 3 , 4\)

(2)

(2) \(k\) 個の連続した正の整数 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{k}\) に対して,

\(| x_{j}^2-x_{j}-23 |\) ( \(1≦j≦k\) )

の値がすべて素数になる \(k\) の最大値と,その \(k\) に対する連続した正の整数 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{k}\) をすべて求めよ.

(1)より,\(x≧6\) かつ \(x≡2\) のとき

\(| f(x) | = f(x) ≡ 0\) より \(f(x)\) は \(3\) の倍数であり,

\(f(x)=3\) を満たす整数 \(x\) は存在しないので, \(f(x)\) は素数にならない.

よって,\(x≧8\) においては \(f(x)\) が素数となり連続するのは最大でも \(2\) 個である.

 

次に,\(1≦x≦7\) を満たす整数 \(x\) を考える.

・ \(x=1\) のとき \(|f(1)|=|-23|=23\) (素数)

・ \(x=2\) のとき \(|f(2)|=|-21|=21\) (素数でない)

・ \(x=3\) のとき \(|f(3)|=|-17|=17\) (素数)

・ \(x=4\) のとき \(|f(4)|=|-11|=11\) (素数)

・ \(x=5\) のとき \(|f(5)|=|-3|=3\) (素数)

・ \(x=6\) のとき \(|f(6)|=|7|=7\) (素数)

・ \(x=7\) のとき \(|f(7)|=|19|=19\) (素数)

以上より,条件を満たす \(k\) の最大値は \(k = 5\)

であり,\(( x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5} ) = ( 3 , 4 , 5 , 6 , 7  )\)

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