【2023東京大学・理科・第５問】
整式 \(f(x)=(x-1)^2(x-2)\) を考える．
(１) \(g(x)\) を実数を係数とする整式とし，\(g(x)\) を \(f(x)\) で割った余りを \(r(x)\) とおく．\(g(x)^7\) を \(f(x)\) で割った余りと \(r(x)^7\) を \(f(x)\) で割った余りが等しいことを示せ．
(２) \(a\)，\(b\) を実数とし，\(h(x)=x^2+ax+b\) とおく．\(h(x)^7\) を \(f(x)\) で割った余りを \(h_{1}(x)\) とおき，\(h_{1}(x)^7\) を \(f(x)\) で割った余りを \(h_{2}(x)\) とおく．\(h_{2}(x)\) が \(h(x)\) に等しくなるような \(a\)，\(b\) の組をすべて求めよ．
解答・解説
(１)
\(g(x)\) を \(f(x)\) で割った商を \(q(x)\) とすると
\(g(x)=f(x)q(x)+r(x)\) となり
\(g(x)^7=\left\{f(x)q(x)+r(x)\right\}^7\)
\(=\left\{f(x)q(x)\right\}^7+_{7}C_{1}\left\{f(x)q(x)\right\}^6r(x)+\cdots+_{7}C_{6}f(x)g(x)r(x)^6+r(x)^7\)
\(=f(x)\left\{f(x)^6g(x)^7+7f(x)^5g(x)^6r(x)+\cdots+7g(x)r(x)^6\right\}+r(x)^7\)
したがって，「\(g(x)^7\) を \(f(x)\) で割った余り」は「\(r(x)^7\) を \(f(x)\) で割った余り」に等しい．
(２)
(１)の結果を利用すると
「\(h_{1}(x)^7\) を \(f(x)\) で割った余り」は「\(\left\{h(x)^7\right\}^7=h(x)^{49}\) を \(f(x)\) で割った余り」に等しい．
つまり，\(h_{2}(x)\) は \(h(x)^{49}\) を \(f(x)\) で割った余りに等しい
\(h_{2}(x)\) が \(h(x)\) に等しくなるとき，
\(h(x)^{49}\) を \(f(x)\) で割った余りが \(h(x)\) となる実数 \(a\)，\(b\) の組を求めればよい．
ここで，\(h(x)^{49}\) を \(f(x)\) で割った商を \(Q(x)\) とおくと
\(h(x)^{49}=f(x)Q(x)+h(x)\)
\((x^2+ax+b)^{49}=(x-1)^2(x-2)Q(x)+(x^2+ax+b)\) ・・・①
①に \(x=1\) を代入すると
\((1+a+b)^{49}=1+a+b\)
\(\iff\) \((a+b+1)\left\{(a+b+1)^{48}-1\right\}=0\) ・・・②
①に \(x=2\) を代入すると
\((4+2a+b)^{49}=4+2a+b\)
\(\iff\) \((2a+b+4)\left\{(2a+b+4)^{48}-1\right\}=0\) ・・・③
①の式を \(x\) で微分すると （☜下記に補足あり）
\(49(x^2+ax+b)^{48}(2x+a)\\=2(x-1)\left\{(x-2)Q(x)\right\}+(x-1)^2\left\{(x-2)Q(x)\right\}^{\prime}+2x+a\)
これに \(x=1\) を代入すると
\(49(1+a+b)^{48}(2+a)=2+a\)
\(\iff\) \((a+2)\left\{49(a+b+1)^{48}-1\right\}=0\) ・・・④
②より \(a+b+1=0\) または \((a+b+1)^{48}-1=0\)
( ⅰ ) \(a+b+1=0\) のとき
④より \((a+2)(-1)=0\) \(\iff\) \(a=-2\)
よって，\(b=1\)
これを③に代入すると成立するため適する．
ゆえに \((a,b)=(-2,1)\)
( ⅱ ) \((a+b+1)^{48}-1=0\) のとき
\(a\)，\(b\) は実数より
\(a+b+1=\pm 1\)
\(a+b=-2,0\)
(ア) \(a+b=-2\) のとき
④より \((a+2)\left\{49\cdot(-1)^{48}-1\right\}=0\)
よって \(a=-2\) ，\(b=0\)
これを③に代入すると成立するため適する．
ゆえに \((a,b)=(-2,0)\)
(イ) \(a+b=0\) のとき
④より \((a+2)\left\{49\cdot 1^{48}-1\right\}=0\)
よって \(a=-2\) ，\(b=2\)
しかし，これを③に代入すると \(2\cdot(2^{48}-1)\not=0\) となり不適
以上から，\((a,b)=(-2,1),(-2,0)\)
補足①
上記の青線部分について
数学Ⅲの微分を履修している方はご存知かと思いますが，積の微分，合成関数の微分を利用してました。数学ⅡBまでの方でも知っておいて損はしない，微分の公式を紹介！
※表記簡略化のため，\(f(x)\)\(\rightarrow\) \(f\) のように表しています。
・\((f\cdot g)^{\prime}=f^{\prime}\cdot g+f\cdot g^{\prime}\)
・\(\left(f^n\right)^{\prime}=nf^{n-1}\cdot f^{\prime}\)
補足②因数定理・重解バージョン
今回は微分をして処理しましたが，一般に次のようなことが言えます。
結果をぜひ覚えておきましょう！
因数定理(重解)
\(f(x)\) を \(n\) 次多項式，\(k\) を \(n\) 以下の正の整数とする．
多項式 \(f(x)\) が \((x-\alpha)^k\) で割り切れる
\(\iff\) \(f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)=f^{\prime\prime}(\alpha)=\cdots=f^{(k-1)}(\alpha)=0\)
※ \(f^{(k-1)}(x)\) は，\(f(x)\) の \(k-1\) 階微分を表す．
例えば \(f(x)\) が \((x-1)^3\) で割り切れるとき
\(f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime\prime}(1)=0\) が成り立つということですね！
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