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【2021関西大学】隣接二項間特性方程式、対数型の漸化式演習問題

数学(大学入試問題)

【2021関西大学】

次の条件によって定まる各項が正の数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を考える.

\(a_{1}=5\) ,  \(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{5}}=a_{n}\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) )

(1) 数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) が \(b_{1}=1\) , \(b_{n+1}=3b_{n}+1\) で定められている.\(b_{n}\) を求めよ.

(2) \(c_{n}=\log_{5}{a_{n}}\) とおく.\(c_{n+1}\) を \(c_{n}\) で表せ.

(3) \(a_{n}\) を求めよ.それを利用して,すべての自然数 \(n\) に対して,\(a_{n}\) は奇数であることを示せ.

(1)隣接二項間特性方程式型

\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p ≠ 1\) ,  \(q ≠ 0\)  )

👉 \(a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)\)

ただし \(\alpha\) は特性方程式「 \(\alpha=p\alpha+q\) 」を満たす値

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(1)解答・解説

(1) \(b_{1}=1\) , \(b_{n+1}=3b_{n}+1\)
\(\alpha=3\alpha+1\) \(\iff\) \(\alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\) より
\(b_{n+1}=3b_{n}+1\) \(\iff\) \(b_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{2}=3\left(b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
数列 \(\left\{ b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2} \right\}\) は,初項が \(b_{1}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{2}\) , 公比が \(3\) の等比数列であるから,
\(b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}\) \(\iff\) \(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(3^n-1\right)\)

(※ 一般的に,特性方程式の計算( \(\alpha\) を求める作業 ) は記述しない)

(2)対数型の漸化式

\(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) の積や指数乗

⇒ 両辺正であること(真数条件)を確認し,対数をとる

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(2)解答・解説

\(a_{1}=5>0\) , \(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{5}}=a_{n}\) より

すべての自然数 \(n\) に対して \(a_{n}>0\) となる.

よって両辺正であるから底を \(5\) とする対数をとると

\(\log_{5}{\sqrt[3]{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{5}}}=\log_{5}{a_{n}}\)

よって,\(\displaystyle\frac{1}{3}\left(\log_{5}{a_{n+1}-1}\right)=\log_{5}{a_{n}}\)

したがって \(c_{n}=\log_{5}{a_{n}}\) とおくと,\(c_{n+1}=3c_{n}+1\)

(3)解答・解説

\(a_{1}=5\) より,\(c_{1}=\log_{5}{a_{1}}=1\) であるから,(1),(2)の結果から

\(c_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}(3^n-1)\)

よって,\(\log_{5}{a_{n}}=\displaystyle\frac{1}{2}(3^n-1)\)

したがって,\(a_{n}=\displaystyle5^{\frac{1}{2}(3^n-1)}\)

ここで,自然数 \(n\) に対して,\(3^n\) は \(3\) 以上の奇数であるから,

\(3^n-1\) は正の偶数となる.

よって,\(\displaystyle\frac{1}{2}(3^n-1)\) は自然数となる.

したがって,すべての自然数 \(n\) に対して,

\(a_{n}=\displaystyle5^{\frac{1}{2}(3^n-1)}\) は奇数である.

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