【2021関西大学】隣接二項間特性方程式、対数型の漸化式演習問題

【2021関西大学】

次の条件によって定まる各項が正の数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を考える．

\(a_{1}=5\) , \(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{5}}=a_{n}\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) )

(１)　数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) が \(b_{1}=1\) , \(b_{n+1}=3b_{n}+1\) で定められている．\(b_{n}\) を求めよ．

(２)　\(c_{n}=\log_{5}{a_{n}}\) とおく．\(c_{n+1}\) を \(c_{n}\) で表せ．

(３)　\(a_{n}\) を求めよ．それを利用して，すべての自然数 \(n\) に対して，\(a_{n}\) は奇数であることを示せ．

(１)隣接二項間特性方程式型

\(a_{n+1}=pa_{n}+q\) ( \(p ≠ 1\) , \(q ≠ 0\) )

👉　\(a_{n+1}-\alpha=p(a_{n}-\alpha)\)

ただし \(\alpha\) は特性方程式「 \(\alpha=p\alpha+q\) 」を満たす値

(１)　\(b_{1}=1\) , \(b_{n+1}=3b_{n}+1\)

\(\alpha=3\alpha+1\) \(\iff\) \(\alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\) より

\(b_{n+1}=3b_{n}+1\) \(\iff\) \(b_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{2}=3\left(b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)

数列 \(\left\{ b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2} \right\}\) は，初項が \(b_{1}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{2}\) , 公比が \(3\) の等比数列であるから，

\(b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}\) \(\iff\) \(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(3^n-1\right)\)

(※ 一般的に，特性方程式の計算( \(\alpha\) を求める作業 ) は記述しない)

\(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) の積や指数乗

⇒　両辺正であること(真数条件)を確認し，対数をとる

【2017大阪大学】対数型の漸化式(パターン16)｜数学B：数列

\(a_{1}=5>0\) , \(\sqrt[3]{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{5}}=a_{n}\) より

すべての自然数 \(n\) に対して \(a_{n}>0\) となる．

よって両辺正であるから底を \(5\) とする対数をとると

\(\log_{5}{\sqrt[3]{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{5}}}=\log_{5}{a_{n}}\)

よって，\(\displaystyle\frac{1}{3}\left(\log_{5}{a_{n+1}-1}\right)=\log_{5}{a_{n}}\)

したがって \(c_{n}=\log_{5}{a_{n}}\) とおくと，\(c_{n+1}=3c_{n}+1\)

\(a_{1}=5\) より，\(c_{1}=\log_{5}{a_{1}}=1\) であるから，(１)，(２)の結果から

\(c_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}(3^n-1)\)

よって，\(\log_{5}{a_{n}}=\displaystyle\frac{1}{2}(3^n-1)\)

したがって，\(a_{n}=\displaystyle5^{\frac{1}{2}(3^n-1)}\)

ここで，自然数 \(n\) に対して，\(3^n\) は \(3\) 以上の奇数であるから，

\(3^n-1\) は正の偶数となる．

よって，\(\displaystyle\frac{1}{2}(3^n-1)\) は自然数となる．

したがって，すべての自然数 \(n\) に対して，

\(a_{n}=\displaystyle5^{\frac{1}{2}(3^n-1)}\) は奇数である．

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