【2021数学ⅠA(第1日程)】第３問(場合の数と確率)

(１)問題と解答・解説《ア〜サ》

(１)　解答・解説《ア〜サ》

( ⅰ )　余事象で考える．

箱の中の \(2\) 個の球がともに白球である確率は，

\(A\)，\(B\) の袋からともに白球を取るので

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{12}\)

よって求める確率は，\(1-\displaystyle\frac{1}{12}=\)\(\displaystyle\frac{11}{12}\) ・・・《ア〜エ》

( ⅱ )

(ア)　\(A\)，\(B\) の袋からともに赤球をとるとき

\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{3}{4}\times \displaystyle\frac{2}{2}=\displaystyle\frac{12}{24}\)

(イ)　\(A\) の袋から赤球，\(B\) の袋から白球をとるとき

\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{1}{4}\times \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{2}{24}\)

(ウ)　\(A\) の袋から白球，\(B\) の袋から赤球をとるとき

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{3}{4}\times \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{24}\)

(ア)〜(ウ)より

\(\displaystyle\frac{12}{24}+\displaystyle\frac{2}{24}+\displaystyle\frac{3}{24}=\)\(\displaystyle\frac{17}{24}\) ・・・《オ〜ク》

次に，「取り出した球が赤球」かつ「 \(B\) の袋に入っていた球」である確率は，

(ア)より，\(\displaystyle\frac{2}{3}\times \displaystyle\frac{3}{4}\times \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{6}{24}\)

(ウ)より，\(\displaystyle\frac{3}{24}\)

よって，\(\displaystyle\frac{6}{24}+\displaystyle\frac{3}{24}=\displaystyle\frac{9}{24}\)

したがって求める条件付き確率は，

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{9}{24}}{\displaystyle\frac{17}{24}}=\)\(\displaystyle\frac{9}{17}\) ・・・《ケ〜サ》

(２)問題と解答・解説《シ〜ヌ》

解答・解説《シ〜ヌ》

( ⅰ )　箱の中の \(4\) この球のうち，ちょうど \(2\) 個が赤球であるのは，\(A\)，\(B\) の袋に白球が \(1\) 個ずつしかないので，\(A\)，\(B\) の袋からともに赤球 \(1\) 個と白球 \(1\) 個を取り出せばよい．

よって，\(\displaystyle\frac{_{2}C_{1}\times _{1}C_{1}}{_{3}C_{2}}\times \displaystyle\frac{_{3}C_{1}\times _{1}C_{1}}{_{4}C_{2}}=\)\(\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・《シス》

また，箱の中の \(4\) 個の球のうち，ちょうど \(3\) 個が赤球であるのは，

(a)　\(A\) の袋から赤球 \(2\) 個，\(B\) の袋から赤球，白球を \(1\) 個ずつ取り出すとき

\(\displaystyle\frac{_{2}C_{2}}{_{3}C_{2}}\times \displaystyle\frac{_{3}C_{1}\times _{1}C_{1}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{6}\)

(b)　\(A\) の袋から赤球，白球を \(1\) 個ずつ，\(B\) の袋から赤球 \(2\) 個取り出すとき

\(\displaystyle\frac{_{2}C_{1}\times _{1}C_{1}}{_{3}C_{2}}\times \displaystyle\frac{_{3}C_{2}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

よって，\(\displaystyle\frac{1}{6}+\displaystyle\frac{1}{3}=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《セソ》

( ⅱ )　箱の中から球を \(2\) 個同時に取り出すとき，どちらの球も赤球であるのは，

(c)　箱の中に赤球がちょうど \(2\) 個で，\(2\) 個の赤球を取り出すとき

《シス》より，\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{_{2}C_{2}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{18}\)

(d)　箱の中に赤球がちょうど \(3\) 個で，その中から \(2\) 個の赤球を取り出すとき

《セソ》より，\(\displaystyle\frac{1}{2}\times \displaystyle\frac{_{3}C_{2}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{4}\)

(e)　箱の中に赤球がちょうど \(4\) 個で，その中から \(2\) 個の赤球を取り出すとき

\(A\)，\(B\) の袋からともに \(2\) 個ずつ赤球を取り出せば良いので

\(\left(\displaystyle\frac{_{2}C_{2}}{_{3}C_{2}}\times \displaystyle\frac{_{3}C_{2}}{_{4}C_{2}}\right)\times \displaystyle\frac{_{4}C_{2}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{6}\)

(c)〜(e)から，\(\displaystyle\frac{1}{18}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{6}=\)\(\displaystyle\frac{17}{36}\) ・・・《タ〜テ》

また，「取り出した \(2\) 個の球がどちらも赤球」かつ「それらのうち \(1\) 個のみが \(B\) の袋に入っていたもの」である確率について．

( Ⅰ )　箱の中に赤球が \(2\) 個あるとき

この \(2\) 個の赤球は，\(A\)，\(B\) の袋から \(1\) 個ずつ取り出されているので，それぞれの袋から \(1\) 個ずつ赤球を取り出すときであるから，《シス》より，

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{_{1}C_{1}\times _{1}C_{1}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{18}\)

( Ⅱ )　箱の中に赤球が \(3\) 個あるとき

(a) のとき，\(A\) の袋から取り出した \(2\) 個の赤球のうち \(1\) 個と，\(B\) の袋から取り出した \(1\) 個の赤球を取り出すときであるから，

\(\displaystyle\frac{1}{6}\times \displaystyle\frac{_{2}C_{1}\times _{1}C_{1}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{18}\)

(b) のとき，\(A\) の袋から取り出した \(1\) 個の赤球を取り出し，\(B\) の袋から取り出した \(2\) 個の赤球のうち \(1\) 個を取り出すときであるから，

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \displaystyle\frac{_{1}C_{1}\times _{2}C_{1}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{9}\)

( Ⅲ )　箱の中に赤球が \(4\) 個あるとき

\(A\)，\(B\) それぞれの袋から取り出した \(2\) 個の赤球のうち \(1\) 個を取り出すときであるから，(e) より

\(\displaystyle\frac{1}{6}\times \displaystyle\frac{_{2}C_{1}\times _{2}C_{1}}{_{4}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{9}\)

よって，\(\displaystyle\frac{1}{18}+\displaystyle\frac{1}{18}+\displaystyle\frac{1}{9}+\displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

したがって求める条件付き確率は，《タ〜テ》の結果とあわせると，

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{17}{36}}=\)\(\displaystyle\frac{12}{17}\) ・・・《ト〜ヌ》