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【2022九州大学(後期)】整数問題|ディオファントス近似

数学(大学入試問題)

【2022九州大学(後期)】

正の整数 \(1 , 2 , 3 , \cdots\) を自然数と呼ぶ.以下の問いに答えよ.

(1) 次の不等式を満たす自然数 \(x\) , \(y\) の組 \((x,y)\) をすべて求めよ.

\(0<\left|\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{x}{y}\right|<\displaystyle\frac{1}{y^2}\)

(2) 次の不等式を満たす自然数 \(x\) , \(y\) の組 \((x,y)\) をすべて求めよ.

\(\left|\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{x^2}{y^2}\right|<\displaystyle\frac{2}{y^3}\)

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

まず分母を払った上で、積(因数分解)の形に変形しましょう!

解答・解説

(1) \(0<\left|\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{x}{y}\right|<\displaystyle\frac{1}{y^2}\)

両辺を \(2y^2\) 倍すると

\(0<\left|y^2-2xy\right|<2\)

\(y\) は自然数であるから

\(0<y\left|y-2x\right|<2\)

\(y\left|y-2x\right|\) は整数であるから

\(y\left|y-2x\right|=1\)

よって \(y=1\) のみ

このとき \(\left|1-2x\right|=1\)

\(1-2x=\pm1\) \(\iff\) \(x=0,1\)

\(x>0\) より \(x=1\)

したがって,\((x,y)=(1,1)\)

(2) \(\left|\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{x^2}{y^2}\right|<\displaystyle\frac{2}{y^3}\)

両辺を \(2y^3\) 倍すると

\(\left|y^3-2x^2y\right|<4\)

\(y\left|y^2-2x^2\right|<4\)

\(y\left|y^2-2x^2\right|\) は \(0\) 以上の整数より

\(y\left|y^2-2x^2\right|=0,1,2,3\)

( ⅰ ) \(y\left|y^2-2x^2\right|=0\) のとき

\(y>0\) より \(y^2-2x^2=0\)

\(y=\sqrt{2}x\)

\(\sqrt{2}=\displaystyle\frac{x}{y}\) となり

これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する.

 

( ⅱ ) \(y\left|y^2-2x^2\right|=1\) のとき

\(y=1\) のみ

このとき,\(\left|1-2x^2\right|=1\)

\(1-2x^2=\pm1\)

\(x^2=0,1\)

\(x>0\) より \(x=1\)

よって,\((x,y)=(1,1)\)

 

( ⅲ ) \(y\left|y^2-2x^2\right|=2\) のとき

\(y=1\) または \(y=2\)

・\(y=1\) のとき

\(\left|1-2x^2\right|=2\)

\(1-2x^2=\pm2\)

これを満たす自然数 \(x\) は存在しない.

・\(y=2\) のとき

\(2\left|4-2x^2\right|=2\)

\(\left|x^2-2\right|=\displaystyle\frac{1}{2}\)

これを満たす自然数 \(x\) は存在しない.

 

( ⅳ ) \(y\left|y^2-2x^2\right|=3\) のとき

\(y=1\) または \(y=3\)

・\(y=1\) のとき

\(\left|1-2x^2\right|=3\)

\(1-2x^2=\pm3\)

\(x^2=-1,2\)

これを満たす自然数 \(x\) は存在しない.

・\(y=3\) のとき

\(3\left|9-2x^2\right|=3\)

\(\left|9-2x^2\right|=1\)

\(9-2x^2=\pm1\)

\(x^2=4,5\)

\(x\) は自然数より \(x=2\)

よって,\((x,y)=(2,3)\)

 

以上より,\((x,y)=(1,1),(2,3)\)

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