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【2021共通テスト】数学ⅡB:第4問(数列)|漸化式(等差・等比)、和

数学(大学入試問題)

【2021数学ⅡB】第4問(数列)

(1)問題と解答・解説《ア〜ク》

解答・解説《ア〜ク》

数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は初項が \(3\) , 公差が \(p\) の等差数列より

\(a_{n}=3+(n-1)p\) ・・・《ア》

これより,\(a_{n+1}=3+np\)

また,数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) は初項が \(3\) , 公比が \(r\) の等比数列より

\(b_{n}=3r^{n-1}\) ・・・《イ》

\(r\not=0\) により,すべての自然数 \(n\) について \(b_{n}\not=0\) となるので

\(r=\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\) であることから,

\(a_{n}b_{n+1}-2a_{n+1}b_{n}+3b_{n+1}=0\) の両辺を \(b_{n}\) で割ると

\(\displaystyle\frac{a_{n}b_{n+1}}{b_{n}}-2a_{n+1}+3\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=0\)

よって,\(ra_{n}-2a_{n+1}+3r=0\)

\(2a_{n+1}=r(a_{n}+3)\) ・・・《ウエ》

\(2(3+np)=r\left\{3+(n-1)p+3\right\}\)

\((r-2)pn=r(p-6)+6\) ・・・《オ〜キ》

これがすべての自然数 \(n\) で成り立つこと,および \(p\not=0\) より

\(r-2=0\) かつ \(r(p-6)+6=0\)

\(\iff\) \(r=2\) , \(p=3\) ・・・《ク》

(2)問題と解答・解説《ケ〜ス》

解答・解説《ケ〜ス》

\(p=3\) のとき \(a_{n}=3+3(n-1)=3n\) より

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{3k}=\)\(\displaystyle\frac{3}{2}n(n+1)\) ・・・《ケ〜サ》

\(r=2\) のとき \(b_{n}=3\cdot2^{n-1}\) より

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{3\cdot2^{n-1}}=\displaystyle\frac{3(2^n-1)}{2-1}=\)\(3(2^n-1)\) ・・・《シス》

(3)問題と解答・解説《セ〜タ》

解答・解説《セ〜タ》

\(a_{n}c_{n+1}-4a_{n+1}c_{n}+3c_{n+1}=0\) より

\((a_{n}+3)c_{n+1}=4a_{n}c_{n}\)

\(a_{n}>0\) より \(a_{n}+3>0\) であるから,

\(c_{n+1}=\displaystyle\frac{4a_{n}}{a_{n}+3}c_{n}\) ・・・《セソ》

\(p=3\) のとき,\(a_{n}=3n\) , \(a_{n+1}=3(n+1)\) なので

\(c_{n+1}=\displaystyle\frac{4\times 3(n+1)}{3n+3}c_{n}=4c_{n}\)

よって,数列 \(\left\{c_{n}\right\}\) は ② 公比が \(1\) より大きい等比数列・・・《タ》

(4)問題と解答・解説《チ〜テ》

解答・解説《チ〜テ》

\(d_{n}b_{n+1}-qd_{n+1}b_{n}+ub_{n+1}=0\)

\(b_{n}\not=0\) なので両辺を \(b_{n}\) で割ると

\(\displaystyle\frac{d_{n}b_{n+1}}{b_{n}}-qd_{n+1}+\displaystyle\frac{ub_{n+1}}{b_{n}}=0\)

\(\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=r=2\) より

\(2d_{n}-qd_{n+1}+2u=0\)

よって,\(d_{n+1}=\displaystyle\frac{2}{q}(d_{n}+u)\) ・・・《チ》

したがって,数列 \(\left\{d_{n}\right\}\) が公比が \(0\) より大きく \(1\) より小さい等比数列となるための必要十分条件は,

\(0<\displaystyle\frac{2}{q}<1\) かつ \(u=0\)

\(\iff\) \(q>2\) かつ \(u=0\) ・・・《ツテ》

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