【2022大阪医科薬科大学・看護・[5]】
解答・解説
正十二角形の頂点を右図のように時計回りに，\(A\)，\(B\)，・・・，\(L\) とおく．
(１) 三角形の個数
異なる \(12\) 個の頂点から，\(3\) 個の頂点を選べばよいので，
\(_{12}C_{3}=\displaystyle\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot1}\)\(220\) 個 ・・・( b )
(２) 直角三角形の個数
直角三角形となるのは，三角形の \(1\) 辺が正十二角形の外接円の直径となればよい．
例えば直径 \(AG\) を \(1\) 辺とする直角三角形は，
もう \(1\) つの頂点を \(A\)，\(G\) 以外の \(10\) 個の頂点から \(1\) 個選べばよい．
よって \(10\) 個できる．
同様に，直径 \(BH\)，\(CI\)，\(DJ\)，\(EK\)，\(FL\) においてもそれぞれ \(10\) 個ずつできる．
したがって，直角三角形は全部で \(60\) 個 ・・・( c )
(３) 正三角形の個数
正三角形となるのは，
\(\triangle AEI\)，\(\triangle BFJ\)，\(\triangle CGK\)，\(\triangle DHL\) の \(4\) 個・・・( a )
(４) 二等辺三角形の個数
正三角形以外の二等辺三角形の個数について考える．
\(1\) つの頂点を \(A\) で固定して考えると，
このとき二等辺三角形(正三角形以外)となるために，残りの \(2\) 個の頂点の選び方は
\(BL\)，\(CK\)，\(DJ\)，\(FH\) の \(4\) 個
よって，頂点 \(A\) 以外についても同様に \(4\) 個ずつあるので，
\(4\times 12=48\) 個
これと(３)で求めた正三角形の個数 \(4\) 個を合わせて
\(48+4=\)\(52\) 個 ・・・( d )
(５) 鈍角三角形の個数
直径 \(AG\) に注目する．
このとき，直線 \(AG\) によって分けられた右側の
\(5\) 点 \(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\) から異なる \(3\) 個の選べば鈍角三角形となるので，
\(_{5}C_{3}=10\)
また，直線 \(AG\) によって分けられた左側の \(5\) つの頂点に関しても同様に考え \(10\) 個の鈍角三角形ができる．
つまり，直径 \(AG\) に注目すると，\(20\) 個の鈍角三角形ができた．
同様に，直径 \(BH\)，\(CI\)，\(DJ\)，\(EK\)，\(FL\) においてもそれぞれ \(20\) 個ずつできる．
したがって，直角三角形は全部で \(120\) 個 ・・・( c )
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