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2006 京都大学・後期[第6問] tan 1° は有理数か

数学(大学入試問題)

2006京都大学・後期 第6問

\(\tan 1\text{°}\) は有理数か.

はじめに

2003年の東京大学の \(1\) 行問題である、

「円周率が \(3.05\)より大きいことを証明せよ.」

と同じぐらい有名な問題ですから、どこかで \(1\) 度は目にしたことがあるかと思います.

この問題を初見で見て、どのように考え、解法を作成していくのか、考え方をメインにお話をしていきます!

 

考え方・方針の立て方

有理数・無理数について

有理数とは・・・

整数と分数をあわせた数のすべてを有理数という.

有理数は、整数の商で表される数、すなわち、\(m\) を \(0\) でない整数、\(n\) を整数として\(\displaystyle\frac{n}{m} \) の形に書かれる数.

無理数とは・・・

実数の中で、有理数以外の数を無理数と言う.

有理数か無理数を判定する方法は・・・

○○の公式に当てはめれば分かる!!と言った便利なものは基本的に存在しません!

そこで、有理数、無理数の判断(証明)をする際に有効な手段として、「背理法」があります。

まずこの問題を見た瞬間に、「背理法」は方針として浮かべるように!

背理法を使うパターンについては、以下を参考にしてください。

【大学受験数学で使える】背理法の典型4パターン

ここで、背理法を用いるとなった場合、\(\tan 1\text{°}\) が有理数か無理数かを予想する必要があります.三角比・三角関数を一通り学習した人であればこの感覚は伝わると思いますが、

基本的に、「三角比の値のほとんどは無理数」と言うこと.

もちろんこれが絶対だと言い切れるほどの理由にはなりませんが、全く見当がつかないのであれば無理数であるという予想を前提とし、背理法でスタート(有理数と仮定)するしかありません。

矛盾の導き方について

とりあえず解答の \(1\) 行目は

「\(\tan 1\text{°}\) は有理数と仮定する」で決まりましたが、これからどのような矛盾を導けばよいのか??

 

このように初めましての問題に関して、神がかった解法を試験中に思いつくのは正直無理です。だからこそ、今まで経験したことのある知識の中から検索し、似たような解法パターンに持ち込むしかありません。

 

☆背理法の有名問題をまとめています。参考に!

【大学受験数学で使える】背理法の典型4パターン

 

そこで、背理法の問題において、有理数・無理数にまつわる過去に経験した問題でどのように矛盾を導いたかと言うと、

例①:有理数を、互いに素な整数 \(m\)、\(n\) を用いて設定し、結果的に \(m\)、\(n\) が互いに素でないことを導く

例②:(有理数)=(無理数)の形を導く

の \(2\) パターンが有名です。

このパターンぐらいしか経験したことないと思いますので、まずはこのパターンに落とし込めないかと考えることから始めましょう。

三角比(関数)について

ここまでは、問題文後半の「有理数か.」という \(4\) 文字から方針を考えてきました。

一方で、問題文前半の \(\tan 1\text{°}\) という三角比・関数についての情報から考察していきましょう。

 

三角比(関数)において、重要な公式を上げよと言われた場合、どの公式を列挙しますか??

もちろんどの公式も大切であることは言うまでもありませんが、真っ先に次の \(2\) つが頭の中に浮かぶように!

① 三角比の定義

言うまでもなく、三角比の定義からすべての公式(相互関係、正弦定理、余弦定理など)が導かれていきます。

② 加法定理

\(2\) 倍角、\(3\) 倍角、半角、和積、積和の公式など、全ては加法定理からスタート!

※三角関数の公式で怪しいものがあれば、「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習」で確認を!

 

例えば、\(\tan 1\text{°}\) を有理数と仮定すると、

加法定理

\(\tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{\tan\alpha +\tan\beta }{1-\tan \alpha\tan \beta}\)

より、\(\alpha=\beta=1\text{°}\) として、\(\tan 2\text{°}\) が有理数であることが導ける.

次に、\(\alpha=2\text{°}\)、\(\beta=1\text{°}\) として、\(\tan 3\text{°}\) が有理数であることが導ける.

これを繰り返すと、\(\tan 1\text{°}\)、\(\tan 2\text{°}\)、\(\tan 3\text{°}\)、\(\tan 4\text{°}\)、・・・・・とすべてが有理数であることが言える.

 

しかし、\(\tan 30\text{°}=\displaystyle\frac {1}{\sqrt{3}}\) や \(\tan 60\text{°}=\sqrt{3}\) のように、無理数であるものが存在する.

よって、(有理数)=(無理数)となるため、これは明らかな矛盾である.

解答

背理法を用いて証明する.

\(\tan 1\text{°}\) を有理数と仮定する.

加法定理より、

\(\tan 2\text{°}=\displaystyle\frac{\tan1\text{°}+\tan1\text{°}}{1-\tan 1\text{°}\tan 1\text{°}}\) であるから、\(\tan 2\text{°}\) は有理数となる.

 

\(\tan 3\text{°}=\displaystyle\frac{\tan1\text{°}+\tan2\text{°}}{1-\tan 1\text{°}\tan 2\text{°}}\) であるから、\(\tan 3\text{°}\) は有理数となる.

 

これを同様に繰り返すと、

\(\tan 1\text{°}\)、\(\tan 2\text{°}\)、\(\tan 3\text{°}\)、\(\tan 4\text{°}\)、・・・・・とすべてが有理数であることが言える.

 

しかし、\(\tan 30\text{°}=\displaystyle\frac {1}{\sqrt{3}}\) であり無理数であるから、矛盾.

したがって、\(\tan 1\text{°}\) は無理数.

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