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【2021早稲田大学・商】2021以下で、正の約数の和が奇数である数の個数

数学(大学入試問題)

【2021早稲田大学・商】

(1) \(225\) のすべての正の約数の和を求めよ.

(2) \(2021\) 以下の正の整数で、すべての正の約数の和が奇数であるものの個数を求めよ.

正の約数の個数・総和の公式

自然数 \(n\) の素因数分解が

\(n=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times\cdots\times p_{k}^{a_{k}}\) のとき

ただし、\(p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}\) を満たす素数、\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{k},k\) は自然数

正の約数の個数

\((a_{1}+1)(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1)\)

正の約数の総和

\((1+p_{1}+p_{1}^2+\cdots+p_{1}^{a_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^2+\cdots+p_{2}^{a_{2}})\cdots(1+p_{k}+p_{k}^2+\cdots+p_{k}^{a_{k}})\)

本問は正の約数の総和に関する問題です。

正の約数の個数に関する入試問題演習はこちら⏬

2019徳島大学-医歯薬|n^2(n^2+8)の正の約数が10個となるn[整数問題]
平方数と合同式は相性抜群!mod 3 , 4 ,5 , 8 は2次試験で頻出テーマ。 合同式を使いこなし、差がつく整数問題を武器にしよう!数学A(整数)良問

解答

(1)

\(225=3^2\times 5^2\) より、\(225\) の正の約数の和は、

\((1+3+3^2)(1+5+5^2)=13\times 31=403\)

(2)

\(p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}\) を満たす素数、\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{k},k\) は自然数とするとき、

自然数 \(n\) の素因数分解が

\(n=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times\cdots\times p_{k}^{a_{k}}\)

のとき正の約数の和は

\((1+p_{1}+p_{1}^2+\cdots+p_{1}^{a_{1}})(1+p_{2}+p_{2}^2+\cdots+p_{2}^{a_{2}})\cdots(1+p_{k}+p_{k}^2+\cdots+p_{k}^{a_{k}})\) ・・・①

①が奇数になるための条件は、①の各項が奇数になることである.

・\(p_{1}=2\) のとき

\(1+2+2^2+\cdots+2^{a_{1}}\) は \(1+\)( 偶数の和 ) であるから常に奇数となる.

・\(p_{1}≧3\) のとき

\(p_{1},p_{2},\cdots,p_{k}\) はすべて奇数であるから、\(1≦i≦k\) を満たす任意の整数 \(i\) に対して、

\(1+p_{i}+p_{i}^2+\cdots+p_{i}^{a_{i}}\) が奇数となるためには、これが奇数個の和となれば良い

\(1+p_{i}+p_{i}^2+\cdots+p_{i}^{a_{i}}\) は \(a_{i}+1\) 個の和であるから、

題意を満たすためには、\(a_{i}+1\) が奇数、つまり \(a_{i}\) は偶数となる.

このとき、\(0\) 以上の整数 \(a\) を用いて、

\(n=2^a\times (\text{奇数})^2\) ・・・② と表せる.

( ⅰ ) \(a\) が偶数のとき

②より、\(n\) は平方数となるので

\(44^2=1936<2021<45^2=2025\) より、

\(1^2,2^2,\cdots,44^2\) の \(44\) 個

( ⅱ ) \(a\) が奇数のとき

②より、\(n\) は \(2\times\)( 平方数 ) となるので

\(2\times 31^2=1922<2021<2\times 32^2=2048\) より、

\(2\times 1^2,2\times 2^2,\cdots,2\times 31^2\) の \(31\) 個

以上より、求める答えは \(44+31=75\) 個

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