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【2021九州大学・理・第5問】nCk=p(素数)となる自然数n,k

数学(大学入試問題)

【2021九州大学・理・第5問】

(1) 自然数 \(n\)、\(k\) が \(2≦k≦n-2\) をみたすとき、

\(_{n}C_{k}>n\) であることを示せ.

(2) \(p\) を素数とする.\(k≦n\) をみたす自然数の組 \((n,k)\) で

\(_{n}C_{k}=p\) となるものをすべて求めよ.

(1)考え方

\(_{n}C_{k}\) の計算について

\(_{n}C_{k}=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

 

不等式の証明について

\(A>B\) の不等式の証明の原則的な解法は、

\(A-B>0\) であることを示せばよい.

 

その他、不等式の証明の仕方については以下にまとめています。

ご参考にしてください。

【数学Ⅱ】不等式の証明(まとめ)解法5つ
大学受験で使える、不等式の証明のまとめ5つ(基本〜発展)。系統的に考え方・思考の仕方のまとめ。定期考査・大学受験対策 3つの相加平均・相乗平均の関係の証明

(1)解答

\(_{n}C_{k}-n=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}-n\)

\(=n\left\{\displaystyle\frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}-1\right\}\)

\(=n\cdot\displaystyle\frac{(n-1)!-k!(n-k)!}{k!(n-k)!}\)

ここで、\(n>0\)、\(k!(n-k)!>0\) なので、

\(_{n}C_{k}>n\) を示すためには、\((n-1)!-k!(n-k)!>0\) を示せばよい.

 

\((n-1)!-k!(n-k)!\\=(n-k)!\left\{(n-1)\times(n-2)\times \cdots \times(n-k+1)-k!\right\}\)

\((n-k)!>0\) より、

\((n-1)\times(n-2)\times \cdots \times(n-k+1)-k!>0\) を示せばよい.

\(2≦k≦n-2\) より、

\(n-1>k\)

\(n-2>k-1\)

\(n-3>k-2\)

ああ

ああ

ああ

\(n-k+1>2\)

これらの左辺、右辺の積を考えると、

\((n-1)(n-2)(n-3)\times \cdots \times(n-k+1)>k(k-1)(k-2)\times\cdots\times2\)

したがって、\((n-1)(n-2)(n-3)\times \cdots \times(n-k+1)>k!\) が成立するため、題意は示された.

(2)考え方

(2) \(p\) を素数とする.\(k≦n\) をみたす自然数の組 \((n,k)\) で \(_{n}C_{k}=p\) となるものをすべて求めよ.

実験

何はともあれ、方針が見えなければ実験し、答えの予想・検討をつけましょう!
・\(n=3\) のとき
\(_{3}C_{1}=_{3}C_{2}=3\) ・・・OK
\(_{3}C_{3}=1\) ・・・ダメ
・\(n=4\) のとき
\(_{4}C_{1}=_{4}C_{3}=4\) ・・・ダメ
\(_{4}C_{2}=\displaystyle\frac{4\times3}{2\times1}=6\) ・・・ダメ
\(_{4}C_{4}=1\) ・・・ダメ
・\(n=5\) のとき
\(_{5}C_{1}=_{5}C_{4}=5\) ・・・OK
\(_{5}C_{2}=_{5}C_{3}=\displaystyle\frac{5\times4}{2\times1}=10\) ・・・ダメ
\(_{5}C_{5}=1\) ・・・ダメ
・\(n=6\) のとき
\(_{6}C_{1}=_{6}C_{5}=6\) ・・・ダメ
\(_{6}C_{2}=_{6}C_{4}=\displaystyle\frac{6\times5}{2\times1}=15\) ・・・ダメ
\(_{6}C_{3}=\displaystyle\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20\) ・・・ダメ
\(_{6}C_{6}=1\) ・・・ダメ
・\(n=7\) のとき
\(_{7}C_{1}=_{7}C_{6}=7\) ・・・OK
\(_{7}C_{2}=_{7}C_{5}=\displaystyle\frac{7\times6}{2\times1}=21\) ・・・ダメ
\(_{7}C_{3}=_{7}C_{4}=\displaystyle\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\) ・・・ダメ
\(_{7}C_{7}=1\) ・・・ダメ
この実験から、
\(n\) が素数で、\(_{n}C_{1}=_{n}C_{n-1}=n\) となるときのみ
であることが予想できる.
つまり、\((n,k)=(p,1) , (p,p-1)\) が答えと検討がつく!

また、この実験の結果と(1)の結果を見比べると・・・

(2)解答

(1)の結果より、\(2≦k≦n-2\) のとき \(_{n}C_{k}>n\) ・・・①

\(_{n}C_{k}=p\) より①から \(p>n\) ・・・②

 

また、\(_{n}C_{k}=p\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}=p\)

よって、\(n!=p\times k!\times(n-k)!\)

右辺は \(p\) の倍数となるが、②より左辺は素数 \(p\) の倍数となり得ないため不適.

したがって、\(2≦k≦n-2\) のとき \(_{n}C_{k}=p\) とならないため、

\(k=1,n-1,n\) のいずれかを考えればよい.

(ア) \(k=1\) のとき

\(_{n}C_{1}=n=p\)

 

(イ) \(k=n-1\) のとき

\(_{n}C_{n-1}=_{n}C_{1}=n=p\)

 

(ウ) \(k=n\) のとき

\(_{n}C_{n}=1=p\) となり不適.

 

以上より、題意を満たす自然数の組 \((n,k)\) は、

\((n,k)=(p,1) , (p,p-1)\)

 

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