【2019岡山大学・医】分数型の三項間漸化式。すべてが自然数となる条件

解答・解説

(１)　\(x_{6}\) ，\(x_{7}\) を \(a\)，\(b\) を用いて表せ．

\(x_{3}=\displaystyle\frac{1+x_{2}}{x_{1}}=\displaystyle\frac{1+b}{a}\)

\(x_{4}=\displaystyle\frac{1+x_{3}}{x_{2}}=\displaystyle\frac{1+\frac{1+b}{a}}{b}=\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}\)

\(x_{5}=\displaystyle\frac{1+x_{4}}{x_{3}}=\displaystyle\frac{1+\frac{a+b+1}{ab}}{\frac{1+b}{a}}\)

\(=\displaystyle\frac{ab+a+b+1}{b(1+b)}\)

\(=\displaystyle\frac{(1+a)(1+b)}{b(1+b)}=\displaystyle\frac{1+a}{b}\)

\(x_{6}=\displaystyle\frac{1+x_{5}}{x_{4}}=\displaystyle\frac{1+\frac{1+a}{b}}{\frac{a+b+1}{ab}}\)

\(=\displaystyle\frac{ab+a(a+1)}{a+b+1}\)

\(=\displaystyle\frac{a(a+b+1)}{a+b+1}=a\)

\(x_{7}=\displaystyle\frac{1+x_{6}}{x_{5}}=\displaystyle\frac{1+a}{\frac{a+1}{b}}=b\)

よって，\(x_{6}=a\) ，\(x_{7}=b\)

\(x_{1}=x_{6}\) ，\(x_{2}=x_{7}\) となり，周期性を持つことがわかりますね！

(２)　\(x_{n}\) がすべて自然数になるような \(a\)，\(b\) の組

(１)の結果から，数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) は

\(a\) ，\(b\) ，\(\displaystyle\frac{1+b}{a}\) ，\(\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}\) ，\(\displaystyle\frac{1+a}{b}\)

を繰り返す．

これらがすべて自然数となるとき

\(a≧1\) ・・・① ，\(b≧1\) ・・・②

\(\displaystyle\frac{1+b}{a}≧1\) \(\iff\) \(a-b≦1\) ・・・③

\(\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}≧1\) \(\iff\) \(ab-a-b≦1\) ・・・④

\(\displaystyle\frac{1+a}{b}≧1\) \(\iff\) \(a-b≧-1\) ・・・⑤

①〜⑤を満たす必要がある．

①〜⑤はあくまでも必要条件であり，これで求めた答えで最終的に確認することを忘れないように！

④より \((a-1)(b-1)≦2\)

よって①〜⑤より

よって，

\((a,b)=(3,2),(2,3),(2,2),(1,2),(2,1),(1,1)\)

これらを \(a\) ，\(b\) ，\(\displaystyle\frac{1+b}{a}\) ，\(\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}\) ，\(\displaystyle\frac{1+a}{b}\) に代入し，すべてが自然数となるのは，

\((a,b)=(3,2),(2,3),(2,1),(1,2),(1,1)\)