【2019岡山大学・理系・第2問】
\(a\),\(b\) を正の数とする.数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) を
\(x_{1}=a\) ,\(x_{2}=b\) ,
\(x_{n+2}=\displaystyle\frac{1+x_{n+1}}{x_{n}}\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) )
により定める.以下の問いに答えよ.
(1) \(x_{6}\) ,\(x_{7}\) を \(a\),\(b\) を用いて表せ.
(2) \(x_{n}\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) ) がすべて自然数になるような \(a\),\(b\) の組をすべて求めよ.
解答・解説
(1) \(x_{6}\) ,\(x_{7}\) を \(a\),\(b\) を用いて表せ.
\(x_{3}=\displaystyle\frac{1+x_{2}}{x_{1}}=\displaystyle\frac{1+b}{a}\)
\(x_{4}=\displaystyle\frac{1+x_{3}}{x_{2}}=\displaystyle\frac{1+\frac{1+b}{a}}{b}=\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}\)
\(x_{5}=\displaystyle\frac{1+x_{4}}{x_{3}}=\displaystyle\frac{1+\frac{a+b+1}{ab}}{\frac{1+b}{a}}\)
\(=\displaystyle\frac{ab+a+b+1}{b(1+b)}\)
\(=\displaystyle\frac{(1+a)(1+b)}{b(1+b)}=\displaystyle\frac{1+a}{b}\)
\(x_{6}=\displaystyle\frac{1+x_{5}}{x_{4}}=\displaystyle\frac{1+\frac{1+a}{b}}{\frac{a+b+1}{ab}}\)
\(=\displaystyle\frac{ab+a(a+1)}{a+b+1}\)
\(=\displaystyle\frac{a(a+b+1)}{a+b+1}=a\)
\(x_{7}=\displaystyle\frac{1+x_{6}}{x_{5}}=\displaystyle\frac{1+a}{\frac{a+1}{b}}=b\)
よって,\(x_{6}=a\) ,\(x_{7}=b\)

\(x_{1}=x_{6}\) ,\(x_{2}=x_{7}\) となり,周期性を持つことがわかりますね!
(2) \(x_{n}\) がすべて自然数になるような \(a\),\(b\) の組
(1)の結果から,数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) は
\(a\) ,\(b\) ,\(\displaystyle\frac{1+b}{a}\) ,\(\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}\) ,\(\displaystyle\frac{1+a}{b}\)
を繰り返す.
これらがすべて自然数となるとき
\(a≧1\) ・・・① ,\(b≧1\) ・・・②
\(\displaystyle\frac{1+b}{a}≧1\) \(\iff\) \(a-b≦1\) ・・・③
\(\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}≧1\) \(\iff\) \(ab-a-b≦1\) ・・・④
\(\displaystyle\frac{1+a}{b}≧1\) \(\iff\) \(a-b≧-1\) ・・・⑤
①〜⑤を満たす必要がある.

①〜⑤はあくまでも必要条件であり,これで求めた答えで最終的に確認することを忘れないように!
④より \((a-1)(b-1)≦2\)
よって①〜⑤より
\(a-1\) | \(2\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
\(b-1\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
よって,
\((a,b)=(3,2),(2,3),(2,2),(1,2),(2,1),(1,1)\)
これらを \(a\) ,\(b\) ,\(\displaystyle\frac{1+b}{a}\) ,\(\displaystyle\frac{a+b+1}{ab}\) ,\(\displaystyle\frac{1+a}{b}\) に代入し,すべてが自然数となるのは,
\((a,b)=(3,2),(2,3),(2,1),(1,2),(1,1)\)
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