【2024久留米大学・医学部・第１問】整数問題｜積の形に変形、値の絞り込み。平方完成の利用

【2024久留米大学・医学部・第１問】

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

\(x^2-9y^2+36y+20=0\)

平方完成を利用すると

\(x^2-9(y^2-4y)+20=0\)

\(x^2-9\left\{(y-2)^2-4\right\}+20=0\)

\(x^2-9(y-2)^2+56=0\)

\(\left\{3(y-2)\right\}^2-x^2-56=0\)

\((3y-6+x)(3y-6-x)=56\) ・・・《ア～カ》

\(x≧0\)，\(y≧0\) より

\(3y-6+x≧-6\)

\(3y-6+x≧3y-6-x\)

また，\((3y-6+x)+(3y-6-x)=2(3y-6)\) となり和が偶数となる

つまり，\(3y-6+x\)，\(3y-6-x\) の偶奇は一致することに注意すれば

\((3y-6+x, 3y-6-x)=(28,2),(14,4),(-2,-28),(-4,-14)\)

これらをそれぞれ解くと

\((x,y)=(13,7),(5,5),(13,-3),(5,-1)\) となるが

\(x≧0\)，\(y≧0\) より \((x,y)=(13,7),(5,5)\) ・・・《キ～サ》

\(x^2-3xy-6x+18y+14=0\)

\(x^2-3(y+2)x+18y+14=0\)

解の公式をとると

\(x=\displaystyle\frac{3(y+2)\pm\sqrt{\left\{3(y+2)\right\}^2-4(18y+14)}}{2}\)

\(x=\displaystyle\frac{3y+6)\pm\sqrt{9y^2-36y-20}}{2}\) ・・・《シ～ツ》

\(x\) が整数であるためには，\(9y^2-36y-20=k^2\) ( \(k\) は \(0\) 以上の整数 ) となる．

よって，\(k^2-9y^2-36y+20=0\)

(１)より，\((k,y)= (13,7),(5,5)\)

・\((k,y)= (13,7) \) のとき

\(x=\displaystyle\frac{27\pm13}{2}=20,7\)

・\((k,y)= (5,5)\) のとき

\(x=\displaystyle\frac{21\pm5}{2}=13,8\)

したがって，\((x,y)=(20,7),(7,7),(13,5),(8,5)\) ・・・《テ～ノ》