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cos20°cos140°cos260°の値を求めよ【2019藤田医科大学・医】

数学(大学入試問題)

【2019藤田医科大学・医】

\(\cos 20°\cos 140°\cos 260°\) の値を求めよ.

[考え方]3倍角の公式の利用

\(20°\),\(140°\), \(260°\) をそれぞれ \(3\) 倍する

\(20°\times 3 = 60°\)

\(140°\times 3 = 420° = 60° + 360°\)

\(260°\times 3 = 780° = 60° + 360°\times 2\)

となり,\(60°+360°\times n\) (  \(n = 0 , 1 , 2\) ) の形で表すことができる

👉  \(3\) 倍角の公式を利用する

3倍角の公式

\(\begin{align*} \sin3\alpha &= 3\sin\alpha – 4\sin^3\alpha \\[5pt] \cos3\alpha &= 4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha \\[5pt] \end{align*}\)

解答

\(4\cos^3\theta-3\cos\theta=\cos 3\theta\) より,\(\theta = 20° , 140° , 260°\) を代入すると

\(4\cos^320°-3\cos20°=\cos 60°=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(4\cos^3140°-3\cos140°=\cos 420°=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(4\cos^3260°-3\cos260°=\cos 780°=\displaystyle\frac{1}{2}\)

であり,\(\cos 20°\),\(\cos 140°\),\(\cos 260°\) はすべて異なるので

\(4x^3-3x=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\iff\) \(8x^3-6x-1=0\)

の \(3\) つの異なる実数解が \(x=\) \(\cos 20°\),\(\cos 140°\),\(\cos 260°\) となる.

したがって,解と係数の関係より

\(\cos 20°\cos 140°\cos 260°=\displaystyle\frac{1}{8}\)

《参考》解と係数の関係

\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)  (\(a≠0\))

の \(3\) 解を、\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) とすると

\(\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\)

\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\)

【頻出】2sin10°を解にもつ3次方程式を求めよ
有名頻出問題。三角関数の3倍角の公式の利用。 2次試験対策。定期考査対策。数学Ⅱ

 

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