cos20°cos140°cos260°の値を求めよ【2019藤田医科大学・医】

【2019藤田医科大学・医】

\(\cos 20°\cos 140°\cos 260°\) の値を求めよ．

[考え方]３倍角の公式の利用

\(20°\)，\(140°\)， \(260°\) をそれぞれ \(3\) 倍すると

\(20°\times 3 = 60°\)

\(140°\times 3 = 420° = 60° + 360°\)

\(260°\times 3 = 780° = 60° + 360°\times 2\)

となり，\(60°+360°\times n\) ( \(n = 0 , 1 , 2\) ) の形で表すことができる

👉 \(3\) 倍角の公式を利用する

\(\begin{align*} \sin3\alpha &= 3\sin\alpha – 4\sin^3\alpha \\[5pt] \cos3\alpha &= 4\cos^3\alpha – 3\cos\alpha \\[5pt] \end{align*}\)

\(4\cos^3\theta-3\cos\theta=\cos 3\theta\) より，\(\theta = 20° , 140° , 260°\) を代入すると

\(4\cos^320°-3\cos20°=\cos 60°=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(4\cos^3140°-3\cos140°=\cos 420°=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(4\cos^3260°-3\cos260°=\cos 780°=\displaystyle\frac{1}{2}\)

であり，\(\cos 20°\)，\(\cos 140°\)，\(\cos 260°\) はすべて異なるので

\(4x^3-3x=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\iff\) \(8x^3-6x-1=0\)

の \(3\) つの異なる実数解が \(x=\) \(\cos 20°\)，\(\cos 140°\)，\(\cos 260°\) となる．

したがって，解と係数の関係より

\(\cos 20°\cos 140°\cos 260°=\displaystyle\frac{1}{8}\)

《参考》解と係数の関係

\(3\) 次方程式　\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) (\(a≠0\))

の \(3\) 解を、\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) とすると

\(\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\)

\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\)