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【2022共通テスト】数学ⅠA:第5問(図形の性質)|重心・メネラウスの定理・方べきの定理

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅠA】第5問(図形の性質)

(1)問題と解答・解説《ア〜ケ》

解答・解説《ア〜ケ》

点 \(G\) は \(\triangle ABC\) の重心より,

\(AG:GE=2:1\) であり,

点 \(D\) が \(AG\) の中点のとき

\(AD=DG=GE\) となる.

よって,\(\displaystyle\frac{AD}{DE}=\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《アイ》

\(\triangle ABE\) と直線 \(PD\) に関してメネラウスの定理より

\(\displaystyle\frac{BP}{PA}\cdot\displaystyle\frac{AD}{DE}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FB}=1\)

\(\displaystyle\frac{BP}{PA}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FB}=1\)

よって,\(\displaystyle\frac{BP}{AP}=2\times \displaystyle\frac{BF}{EF}\) ・・・《ウ〜オ》

\(\triangle AEC\) と直線 \(DQ\) に関してメネラウスの定理より

\(\displaystyle\frac{CQ}{QA}\cdot\displaystyle\frac{AD}{DE}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FC}=1\)

\(\displaystyle\frac{CQ}{QA}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{EF}{FC}=1\)

よって,\(\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=2\times \displaystyle\frac{CF}{EF}\) ・・・《カ〜ク》

\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=2\times \displaystyle\frac{BF}{EF}+2\times \displaystyle\frac{CF}{EF}=2\times \displaystyle\frac{BF+CF}{EF}\)

点 \(E\) は辺 \(BC\) の中点なので,\(BF+CF=2EF\) であるから

\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=\)\(4\) ・・・《ケ》

(2)問題と解答・解説《コ〜ナ》

解答・解説《コ〜ナ》

方べきの定理より

\(AP\cdot AB=AQ\cdot AC\) であるから

\(9AP=6AQ\)

よって,\(AQ=\displaystyle\frac{3}{2}AP\) ・・・《コサ》

\(AP=2x\) とおくと,\(AQ=3x\) であり,(1)の結果から

\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=4\) なので

\(\displaystyle\frac{9-2x}{2x}+\displaystyle\frac{6-3x}{3x}=4\)

これを解くと,\(x=\displaystyle\frac{13}{12}\)

よって,\(AP=2x=\)\(\displaystyle\frac{13}{6}\) ・・・《シ〜セ》

\(AQ=3x=\)\(\displaystyle\frac{13}{4}\) ・・・《ソ〜チ》

(1)の \(\displaystyle\frac{BP}{AP}=2\times \displaystyle\frac{BF}{EF}\) より

\(\displaystyle\frac{9-\frac{13}{6}}{\frac{13}{6}}=2\times \displaystyle\frac{8+CF}{4+CF}\)

これを解くと,\(CF=\displaystyle\frac{44}{15}\) ・・・《ツ〜ナ》

(3)問題と解答・解説《二〜ヌ》

解答・解説《二〜ヌ》

\(\displaystyle\frac{AD}{DE}=k\) とおく.

(1)と同様に考え

\(\displaystyle\frac{BP}{AP}=\displaystyle\frac{1}{k}\times \displaystyle\frac{BF}{EF}\) ,

\(\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=\displaystyle\frac{1}{k}\times \displaystyle\frac{CF}{EF}\)

であり,

\(\displaystyle\frac{BP}{AP}+\displaystyle\frac{CQ}{AQ}=\displaystyle\frac{1}{k}\displaystyle\frac{BF+CF}{EF}=\displaystyle\frac{2}{k}\)

よって,\(\displaystyle\frac{2}{k}=10\) \(\iff\) \(k=\displaystyle\frac{1}{5}\)

したがって,\(AD:DG:GE=1:3:2\) であるから,

\(\displaystyle\frac{AD}{DG}=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・《二ヌ》

【2022共通テスト】数学ⅠA:第4問 整数の性質|1次不定方程式11^5x-2^5y=1
1次不定方程式の整数解を考える。係数の値が大きく、計算が厄介。格子点を利用した解答など、時間短縮できる解法を身につけておきたい。大学共通テスト対策。センター試験過去問演習。数学ⅠA:整数の性質

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