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2022京都大学・文理共通【空間図形・ベクトル】垂直の証明、最小値

数学(大学入試問題)

【2022京都大学(理系:第4問、文系:第5問)】

確認事項

\(2\) つのベクトルが垂直であるとき、内積が \(0\)

\(\overrightarrow{PG}\perp\overrightarrow{OA}\) \(\iff\) \(\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{OA}=0\)

 

\(3\) 点が一直線上

\(3\) 点 \(B\)、\(P\)、\(C\) が一直線上 \(\iff\) \(\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}\)

 

\(△ABC\) の重心 \(G\) について

\(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)

\(O\) を \(A\) とすると、

\(\overrightarrow{AG}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)

解答

(1)

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)、\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\)、\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}\)、\(\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{g}\) とおく.

 

点 \(P\) は \(BC\) 上より、実数 \(t\) を用いて、

\(\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}\) とおけ、

\(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}=t(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\)

よって、\(\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\) ・・・①

また、点 \(G\) は \(△OAP\) の重心であるから、

\(\overrightarrow{g}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{p})\)

よって、\(\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{p}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{p})\) ・・・②

②より、\(\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{a}=\displaystyle\frac{1}{3}(|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p})\) ・・・③

①より、

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\) ・・・④

ここで、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\) の値について考える.

\(△OAB\) において、

\(|\overrightarrow{AB}|=3 \iff |\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=3\) を \(2\) 乗すると、

\(|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{a}|^2=9\)

\(|\overrightarrow{a}|=4\)、\(|\overrightarrow{b}|=3\) より

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=8\)

同様に考え、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=8\)

よって④より、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}=8\) となるので、③に代入すると、

\(\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{a}=\displaystyle\frac{1}{3}(4^2-2\times8)=0\)

したがって、\(\overrightarrow{PG}\perp\overrightarrow{OA}\)

(2)

②より、\(|\overrightarrow{PG}|^2=\displaystyle\frac{1}{9}(|\overrightarrow{a}|^2-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}+4|\overrightarrow{p}|^2)\)

\(|\overrightarrow{a}|=4\)、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{p}=8\) より、

\(|\overrightarrow{PG}|^2=\displaystyle\frac{4}{9}(|\overrightarrow{p}|^2-4)\)

したがって、\(|\overrightarrow{p}|\) が最小となるとき \(|\overrightarrow{PG}|\) が最小となる.

つまり、点 \(O\) から \(BC\) への距離が最小となればよいので、\(OP\perp BC\) のときである.

余弦定理より、\(\cos\angle OBC=\displaystyle\frac{3^2+3^2-(2\sqrt3)^2}{2\cdot 2\cdot 3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) であり、

\(△OBP\) に注目して、

\(\cos\angle OBC=\displaystyle\frac{BP}{OB}\) より、\(BP=1\)

よって、\(OP=2\sqrt{2}\)

このとき、

\(|\overrightarrow{PG}|^2=\displaystyle\frac{4}{9}((2\sqrt{2})^2-4)=\displaystyle\frac{16}{9}\) なので、

求める最小値は、\(PG=\displaystyle\frac{4}{3}\)

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