【2021神戸大学・文系・第1問】
\(i\) を虚数単位とする．以下の問に答えよ．
(1) \(n = 2 , 3 , 4 , 5 \) のとき \((3+i)^n\) を求めよ．
またそれらの虚部の整数を 10 で割った余りを求めよ．
(2) \(n\) を正の整数とするとき \((3+i)^n\) は虚数であることを示せ．
（１）解答
・\(n=2\) のとき
\((3+i)^2=9+6i+i^2=8+6i\)
・\(n=3\) のとき
\((3+i)^3=(8+6i)(3+i)=18+26i\)
・\(n=4\) のとき
\((3+i)^4=(18+26i)(3+i)=28+96i\)
・\(n=5\) のとき
\((3+i)^5=(28+96i)(3+i)=-12+316i\)
いずれの虚部の整数も 10 で割った余りは 6
（２）考え方
一般化された問題
👉 実験、予想(規則や性質を見つける)、証明(一般化)
数学的帰納法
数学的帰納法
すべての自然数 \(n\) に対して、ある命題 \(P\) が成り立つことを証明したい際に、次の２点を証明する
(ⅰ) \(n=1\) のとき命題 \(P\) が成立
(ⅱ) \(n=k\) のとき命題 \(P\) が成立すると仮定し、
\(n=k+1\) のとき命題 \(P\) が成立
(2)は \(n\) に関する (一般化された) 問題であるため、まずは \(n = 1 , 2 , 3 \) など実験を行う
※結果的にこの実験が(1)である．
つまり、(1)の結果から、予想(規則や性質を見つける)作業をまず行う．
(2)においては、(1)の結果に注目すると、
\((3+i)^n\)の
「実部の整数を 10 で割った余りは 8 」
「虚部の整数を 10 で割った余りが 6」
と予想できるため、それがすべての自然数 \(n\) において成立することが言えれば、
\((3+i)^n\) は虚数であることが言える．
(2) 解答
\((3+i)^n\) の実部、虚部を 10 で割った余りはそれぞれ 8、6 (\(n≧2\)) ・・・①
①を数学的帰納法を用いて証明する．
(ⅰ) \(n=2\) のとき
(1)の結果より成立する
(ⅱ) \(n=k\) のとき、①が成立すると仮定する
つまり、整数 \(X , Y\) を用いて
\((3+i)^k=(10X+8)+(10Y+6)\) とおける．
このとき
\((3+i)^{k+1}=\left\{(10X+8)+(10Y+6)\right\}(3+i)\)
右辺を展開しまとめると
\((3+i)^{k+1}=10(3X-Y+1)+8+\left\{10(3X+Y+2)+6\right\}i\)
したがって、\(n=k+1\) でも成立
以上、(ⅰ)、(ⅱ)より、①は成立する
①の結果から、\(n=1\) を含め、\((3+i)^n\) は虚数である．
２段仮定の数学的帰納法について
上で扱った帰納法はだけでなく、２次試験ではよく出題される、２段仮定の数学的帰納法があります。演習として是非！
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