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【2021京都大学(理)】平面に対称な点|平面の方程式の利用|数学B空間ベクトル

2021年入試問題

【2021京都大学(理)】

\(xyz\) 空間の \(3\) 点 \(A(1,0,0)\) , \(B(0,-1,0)\) , \(C(0,0,2)\) を通る平面 \(\alpha\) に関して点 \(P(1,1,1)\) と対称な点 \(Q\) の座標を求めよ.

ただし,点 \(Q\) が平面 \(\alpha\) に関して \(P\) と対称であるとは,線分 \(PQ\) の中点 \(M\) が平面 \(\alpha\) 上にあり,直線 \(PM\) が \(P\) から平面 \(\alpha\) に下ろした垂線となることである.

平面の方程式,点と面の距離の公式,外積など,学校の授業では学習しないが,入試では頻出の知っておきたい差がつくテーマになります。

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習
平面の方程式の公式の導き方と使い方。外積を利用した法線ベクトルを利用した解法も紹介。空間ベクトルを利用して、平面の方程式、直線の方程式、点と平面の距離など差がつく分野について公式、使い方の練習。京都大学をはじめ、難関大学では頻出のテーマ。2次試験対策。数学B空間ベクトル

考え方・方針について

外積について

※ \(\vec{x}\times\vec{y}\) を \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) の外積という

※ 外積は高校数学では学習しません。(教科書に載っていません)そのため,記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと!

平面の方程式について

知らなくても解けますが,知っておくと色々と便利で計算が簡略化できます!

特に難関大学では頻出ですので,覚え・使えるように!

解答

\(\overrightarrow{AB}=(-1,-1,0)\)

\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)\) より,

\(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{AC}\) の両方に垂直なベクトルの \(1\) つを \(\overrightarrow{n}\) とおくと,

\(\overrightarrow{n}=(-2,2,-1)\) より

\(\overrightarrow{n}\) を求める作業で外積を利用しました!

外積は高校数学の範囲外ですので,記述で使うと減点の可能性があります。

そのため外積を利用する際は,計算用紙(メモ)などで計算し,結論のみ記述しましょう!

平面 \(\alpha\) の方程式は

\(-2(x-1)+2y-z=0\)

\(2x-2y+z-2=0\) ・・・①

ここで点 \(P\) から平面 \(\alpha\) に下ろした垂線の足を \(M\) とおくと,実数 \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+t\overrightarrow{n}\) と表せる.

\(\overrightarrow{OM}=(1,1,1)+t(-2,2,-1)=(-2t+1,2t+1,-t+1)\)

よって,\(M(-2t+1,2t+1,-t+1)\)

点 \(M\) は①上にあるので代入すると

\(2(-2t+1)-2(2t+1)+(-t+1)-2=0\)

\(-9t-1=0\) \(\iff\) \(t=\displaystyle\frac{-1}{9}\)

よって,\(M\left(\displaystyle\frac{11}{9},\displaystyle\frac{7}{9},\displaystyle\frac{10}{9}\right)\)

点 \(M\) は \(PQ\) の中点であるから,\(Q(a,b,c)\) とおくと

\(\left(\displaystyle\frac{a+1}{2},\displaystyle\frac{b+1}{2},\displaystyle\frac{c+1}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{11}{9},\displaystyle\frac{7}{9},\displaystyle\frac{10}{9}\right)\)

したがって,\(a=\displaystyle\frac{13}{9}\) , \(b=\displaystyle\frac{5}{9}\) , \(c=\displaystyle\frac{11}{9}\) より

求める点 \(Q\) は \(Q\left(\displaystyle\frac{13}{9},\displaystyle\frac{5}{9},\displaystyle\frac{11}{9}\right)\)

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