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【数Ⅲ】2004京都大|複素数平面まとめ⑩(図形・方べきの定理の逆)

複素数平面まとめ(数Ⅲ)

【問題10】2004 京都大学

複素数 \(\alpha\) に対してその共役な複素数を \(\overline{\alpha}\) で表す.

\(\alpha\) を実数でない複素数とする.複素数平面内の円 \(C\) が \(1\)、\(-1\)、\(\alpha\) を通るならば、\(C\) は \(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}\) も通ることを示せ.

ここでは、数学Ⅲで学習する複素数平面について、実践問題(入試問題)を使って、ポイント(考え方)まとめをしていきます。

正直に言いますと、教科書をやっただけでは、入試レベルの問題に対応するのは難しいです。

ですから、教科書と入試レベルの橋渡しとして、過去に出題された入試問題を例に、複素数平面においておさえておきたい(入試でよく出る考え方)をまとめていきます。

基本的な考え方をしっかりと身に付け、2次試験で得点源にできるようにしていきましょう!

 

考え方

証明問題全般に言えること

証明問題において、方針が見えない、途中で手が止まった場合については、示したいことを言い換える(ゴールから逆算する)ことを意識しましょう!

 

方針・考え方

円 \(C\) が \(1\)、\(-1\) を通る

☞ \(1\)、\(-1\) の垂直二等分線上に円 \(C\) の中心がある

☞ 円 \(C\) の中心は実数 \(k\) を用いて、\(( 0 , ki )\) とおける.

このとき、(ゴールからの逆算)

\(2\) 点 \(ki\) と \(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}\) の距離が、

\(2\) 点 \(ki\) と \(1\) の距離に等しいことが示せたら、\(C\) は \(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}\) も通ることを示すことができる.

つまり、\(\left| -\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}-ki \right|=| 1-ki |\) を示せばよい.

さらにゴールからの逆算を続けます。

\(\left| -\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}-ki \right|^2=| 1-ki |^2\)

\(\iff \left(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}-ki\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{\alpha}+ki\right)=(1-ki)(1+ki)\)

展開して式を整理すると

\(\alpha\cdot\overline{\alpha}+k\alpha i-k\overline{\alpha}i-1=0\) を示せばよい!

👆 示したいことを言い換えて、ゴールをすり替えた!

あとは問題の中で使っていない条件から、この関係式を頑張って導けばよい。

☞ まだ使っていない条件としては、\(\alpha\) が円 \(C\) 上にあること

解答

円 \(C\) が \(1\)、\(-1\) を通るので、円 \(C\) の中心は、

\(1\)、\(-1\) の垂直二等分線上にある.

よって、円 \(C\) の中心は実数 \(k\) を用いて、\(( 0 , ki )\) とおける.

 

\(C\) が \(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}\) を通ることを示すためには、

\(2\) 点 \(ki\) と \(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}\) の距離が、

\(2\) 点 \(ki\) と \(1\) の距離に等しいことが示せればよい.

つまり、\(\left| -\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}-ki \right|=| 1-ki |\) を示せばよいので、

\(\left| -\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}-ki \right|^2=| 1-ki |^2\)

\(\iff \left(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}-ki\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{\alpha}+ki\right)=(1-ki)(1+ki)\)

展開して式を整理すると

\(\alpha\cdot\overline{\alpha}+k\alpha i-k\overline{\alpha}i-1=0\) ・・・①を示すことが出来ればよい.

 

ここで、\(\alpha\) は円 \(C\) 上の点であるから、

\(| 1-ki |=| \alpha-ki |\) より

\((1-ki)(1+ki)=(\alpha-ki)(\overline{\alpha}+ki)\)

\(1+k^2=\alpha\cdot\overline{\alpha}+k\alpha i-k\overline{\alpha} i+k^2\)

よって、\(\alpha\cdot\overline{\alpha}+k\alpha i-k\overline{\alpha} i-1=0\)

したがって、①が成立するので、題意は示された.

別解

考え方:4点が同一円周上にある

4点が同一円周上にあるためには

① 円周角の定理の逆が成立

② 体角の和が180°

③ 方べきの定理の逆が成立

別解:解答

\(\alpha=| \alpha |(\cos \theta+i\sin \theta)\) とおく.

\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}=\displaystyle\frac{1}{| \alpha |}\left\{\cos (-\theta)+i\sin (-\theta)\right\}=\displaystyle\frac{1}{| \alpha |}(\cos \theta-i\sin \theta)\) なので、

\(\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}=\displaystyle\frac{1}{| \alpha |}(\cos \theta+i\sin \theta)\)

\(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}=-\displaystyle\frac{1}{| \alpha |}(\cos \theta+i\sin \theta)\)

ここで、\(O( 0 )\)、\(A ( 1 )\)、\(B ( -1 )\)、\(C (\alpha)\)、\(D \left(-\displaystyle\frac{1}{\overline{\alpha}}\right)\) とおく.

\(OA\times OB=1\times 1=1\)

\(OC\times OD=| \alpha |\times \displaystyle\frac{1}{| \alpha |}=1\)

よって、\(OA\times OB=OC\times OD\) となり、方べきの定理の逆が成り立つので、4点 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) は同一円周上にある.

 

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