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2021 岡山大学・文理共通【整数問題】合同式・余り

数学(大学入試問題)

2021 岡山大学・文理共通問題【第3問】

次の問いに答えよ.

(1) \(n\) が整数のとき、\(n\) を \(6\) で割ったときの余りと \(n^3\) を \(6\) で割ったときの余りは等しいことを示せ.

(2) 整数 \(a , b , c\) が条件

\(a^3+b^3+c^3=(c+1)^3\) ・・・(※)

を満たすとき、\(a+b\) を \(6\) で割った余りは \(1\) であることを示せ.

(3) \(1≦a≦b≦c≦10\) を満たす整数の組 \(( a , b , c )\) で、(2)の条件(※)を満たすものをすべて求めよ.

(1)考え方・解答

考え方

\(6\) で割ったときの余り

→\(mod 6\) で考える

合同式は整数問題を扱う上でとても重要なツール!

不安がある方、知らない方は

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考に合同式について勉強しましょう!

(1)解答

(1) \(n\) が整数のとき、\(n\) を \(6\) で割ったときの余りと \(n^3\) を \(6\) で割ったときの余りは等しいことを示せ.

(1) 以下、法を \(6\) として考える

(ⅰ) \(n≡0\) のとき、\(n^3≡0\) より成立

(ⅱ) \(n≡1\) のとき、\(n^3≡1\) より成立

(ⅲ) \(n≡2\) のとき、\(n^3≡8≡2\) より成立

(ⅳ) \(n≡3\) のとき、\(n^3≡27≡3\) より成立

(ⅴ) \(n≡4\) のとき、\(n^3≡64≡4\) より成立

(ⅵ) \(n≡5\) のとき、\(n^3≡125≡5\) より成立

以上より題意は示された.

(2)考え方・解答

考え方

(1)の結果から、\(k\) を整数とすると、

\(k^3≡k\) ( \(mod 6\) ) が成り立つ.

つまり、\(a+b≡a^3+b^3\) ( \(mod 6\) ) なので、

\( a^3+b^3≡1\) を示せばよい.

 

(2)解答

(2) 整数 \(a , b , c\) が条件

\(a^3+b^3+c^3=(c+1)^3\) ・・・(※)

を満たすとき、\(a+b\) を \(6\) で割った余りは \(1\) であることを示せ.

(2)  以下、法を \(6\) として考える

(※)より

\(a^3+b^3=(c+1)^3-c^3=3c^2+3c+1\) ・・・ ①

\(3c^2+3c=3c(c+1)\) で、\(c(c+1)\) は連続する \(2\) つの整数の積であるから、\(2\) の倍数.

つまり、\(3c(c+1)≡0\)

①より、\(a^3+b^3≡1\) ・・・ ②

また、(1)の結果より、\(a^3≡a\)、\(b^3≡b\) であるから

\(a^3+b^3≡a+b\) ・・・ ③

②、③より、

\(a^3+b^3≡1\)

以上より、題意は示された.

(3)解答

(3) \(1≦a≦b≦c≦10\) を満たす整数の組 \(( a , b , c )\) で、(2)の条件(※)を満たすものをすべて求めよ.

(3) \(1≦a≦b≦c≦10\) のとき、\(2≦a+b≦20\) であり、

また、(2)の結果から \(a+b≡1\) \(( mod 6 )\) なので、

\(a+b= 7 , 13 , 19\)

 

(ⅰ) \(a+b=7\) のとき

\(1≦a≦b≦10\) を満たす \(( a , b )=( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 )\)

 

・\(( a , b )=( 1 , 6 ) \) のとき

(※)より、\(1^3+6^3+c^3=(c+1)^3\)

\(c^2+c-72=0\)

\(b=6≦c≦10\) より、\(c=8\)

 

・\(( a , b )=( 2 , 5 ) \) のとき

(※)より、\(2^3+5^3+c^3=(c+1)^3\)

\(c^2+c-44=0\)

\(b=5≦c≦10\) を満たす整数 \(c\) は存在しない

 

・\(( a , b )=( 3 , 4 )\) のとき

(※)より、\(3^3+4^3+c^3=(c+1)^3\)

\(c^2+c-30=0\)

\(b=4≦c≦10\) より、\(c=5\)

 

(ⅱ) \(a+b=13 , 19\) のときも(ⅰ)と同様にそれぞれ調べていくと、題意を満たす整数 \(c\) は存在しない.

 

以上より、\(( a , b , c )=( 1 , 6 , 8 ) , ( 3 , 4 , 5 )\)

 

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