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【2019九州大学・確率】表3、裏8の硬貨を10回投げた時の数の積が8桁になる確率

数学(大学入試問題)

【2019九州大学・文・第1問】

表に \(3\)、裏に \(8\) が書かれた硬貨がある.この硬貨を \(10\) 回投げるとき、出た数字 \(10\) 個の積が \(8\) 桁になる確率を求めよ.

ただし、\(\log_{10}2=0.3010\)、\(\log_{10}3=0.4771\) とする.

考え方

\(n\) 桁の数について

\(N\) が \(n\) 桁の自然数 \(\iff\) \(10^{n-1}≦N<10^n\)

《例》\(714\) は \(3\) 桁の自然数

このとき、\(100≦714<1000\) であるから、\(10^2≦714<10^3\)

つまり、右側の指数が桁数と一致する!

反復試行の確率

さいころを繰り返し \(n\) 回投げる 👉 反復試行

【反復試行】

1回の試行で事象 A が起こる確率を \(p\) としたとき、この試行を \(n\) 回行う反復試行の確率で、Aがちょうど \(r\) 回起こる確率は \(_{n}\rm{C}_{r} p^{r} (1-p)^{n-r}\)

解答

表が \(k\) 回出るとする.( \(k=0,1,2,\cdots,10\) )

このとき、出た数字の \(10\) 個の積を \(P\) とすると、

\(P=3^k\times 8^{10-k}\)

これが \(8\) 桁の整数となるとき、

\(10^7≦P<10^8\)

常用対数をとると、

\(\log_{10}10^7≦\log_{10}P<\log_{10}10^8\)

よって、\(7≦\log_{10}\left(3^k\times 8^{10-k}\right)<8\) ・・・①

ここで、\(\log_{10}\left(3^k\times 8^{10-k}\right)=k\log_{10}3+3(10-k)\log_{10}2\)

\(\log_{10}2=0.3010\)、\(\log_{10}3=0.4771\) を代入して計算すると、

\(\log_{10}\left(3^k\times 8^{10-k}\right)=9.03-0.4259k\)

①より、\(7≦9.03-0.4259k<8\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{1.03}{0.4259}<k≦\displaystyle\frac{2.03}{0.4259}\) ・・・②

\(\displaystyle\frac{1.03}{0.4259}=2.41\cdots\)、\(\displaystyle\frac{2.03}{0.4259}=4.76\cdots\) であるから、②を満たす整数 \(k=3,4\)

したがって求める確率は、

\(_{10}C_{3}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^7+_{10}C_{4}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^6=\displaystyle\frac{165}{512}\)

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