【2022岐阜大学・理・第２問】
ある製品が工場Aと工場Bで生産されている．工場Aで生産された製品が不良品である確率を \(\displaystyle\frac{1}{20}\) ，工場Bで生産された製品が不良品である確率を \(\displaystyle\frac{1}{10}\) とする．以下の問に答えよ．
(１) 工場Aと工場Bで生産された多数の製品がある．その中から \(1\) つ取り出すとき，その製品が工場Aで生産されたものである確率を \(\displaystyle\frac{3}{5}\) ，工場Bで生産されたものである確率を \(\displaystyle\frac{2}{5}\) とする．取り出された製品が不良品である確率を求めよ．
(２) 製品が不良品か否かを判定する検査装置の導入を考える．この検査装置は検査対象が不良品だったとき，\(\displaystyle\frac{9}{10}\) の確率で不良品であることを正しく判定する．一方，不良品でない製品を検査したときにも \(\displaystyle\frac{1}{10}\) の確率で不良品であると誤って判定する．工場Aで生産された製品を \(1\) つ取り出して検査装置で検査したとき，それが不良品と判定される確率を求めよ．
(３) 工場Aで生産された製品を \(1\) つ取り出して (２) の検査装置で検査したところ，不良品と判定された．その製品が実際に不良品である確率を求めよ．
(４) 工場Aで生産された製品を出荷前に (２) の検査装置で検査し，不良品と判定されたものを取り除いてから出荷する．このとき，工場Aから出荷された検査済みの製品が実際に不良品である確率を求めよ．
解答・解説
(１)
取り出した製品が「工場Aで生産された製品」 かつ 「不良品」である確率は
\(\displaystyle\frac{3}{5}\times \displaystyle\frac{1}{20}=\displaystyle\frac{3}{100}\)
取り出した製品が「工場Bで生産された製品」 かつ 「不良品」である確率は
\(\displaystyle\frac{2}{5}\times \displaystyle\frac{1}{10}=\displaystyle\frac{1}{25}\)
よって，\(\displaystyle\frac{3}{100}+\displaystyle\frac{1}{25}=\displaystyle\frac{7}{100}\)
(２)
工場Aで生産された製品を \(1\) つ取り出し検査したとき，
「製品が不良品」かつ「不良品と判定される」確率は，
\(\displaystyle\frac{1}{20}\times \displaystyle\frac{9}{10}=\displaystyle\frac{9}{200}\)
また，工場Aで生産された製品を \(1\) つ取り出し検査したとき，
「製品が不良品でない」かつ「不良品と判定される」確率は，
\(\left(1-\displaystyle\frac{1}{20}\right)\times \displaystyle\frac{1}{10}=\displaystyle\frac{19}{200}\)
よって，\(\displaystyle\frac{9}{200}+\displaystyle\frac{19}{200}=\displaystyle\frac{7}{50}\)
(３) 条件付き確率
事象 \(A\) が起こったときに、事象 \(B\) が起こる確率を条件付き確率といい、\(P_{A}(B)\) と表す．
\(P_{A}(B)=\displaystyle\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
(２)より求める条件付き確率は，
\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{9}{200}}{\displaystyle\frac{7}{50}}=\displaystyle\frac{9}{28}\)
(４)
工場Aで生産されたある製品が「不良品」かつ「出荷される」確率は，
\(\displaystyle\frac{1}{20}\times \left(1-\displaystyle\frac{9}{10}\right)=\displaystyle\frac{1}{200}\)
また，工場Aで生産されたある製品が「不良品でない」かつ「出荷される」確率は，
\(\left(1-\displaystyle\frac{1}{20}\right)\left(1-\displaystyle\frac{1}{10}\right)=\displaystyle\frac{171}{200}\)
よって求める条件付き確率は，
\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{200}}{\displaystyle\frac{1}{200}+\displaystyle\frac{171}{200}}=\displaystyle\frac{1}{172}\)
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