【2010神戸大学・理系・第１問】
\(a\) を実数とする．関数 \(f(x)=ax+\cos x+\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x\) が極値をもたないように，\(a\) の値の範囲を定めよ．
極値の存在条件
関数 \(y=f(x)\) が \(x=\alpha\) で極値をもつ条件は，
\(f^{\prime}(x)\) の符号が \(x=\alpha\) の前後で変化すること
《注意》
『\(y=f(x)\) が \(x=\alpha\) で極値をもつ』は『\(f^{\prime}(a)=0\)』と同値ではありません！
『\(y=f(x)\) が \(x=\alpha\) で極値をもつ』 ⇒ 『\(f^{\prime}(a)=0\)』は成立するが，
一般に逆は成り立たない！
本問は，「極値をもたない」条件ですから，\(f^{\prime}(x)\) が符号変化をしない。
つまり，つねに \(f^{\prime}(x)≧0\) または \(f^{\prime}(x)≦0\) が成り立てばよいということですね！
解答・解説
\(f(x)=ax+\cos x+\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x\) より
\(f^{\prime}(x)=a-\sin x+\cos 2x=a-(2\sin^2 x+\sin x-1)\)
ここで，\(t=\sin x\) ( \(-1≦t≦1\) ) , \(g(t)=2t^2+t-1\) とおくと，
\(g(t)=2\left(t+\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{9}{8}\) ( \(-1≦t≦1\) )
であるから，
\(g\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)≦g(t)≦g(1)\)
つまり，\(-\displaystyle\frac{9}{8}≦g(t)≦2\) ・・・①
\(f(x)\) が極値をもたない条件は，\(f^{\prime}(x)\) が符号変化をしなければよい．
つまり，つねに \(f^{\prime}(x)≧0\) または \(f^{\prime}(x)≦0\) が成り立てばよい
・\(f^{\prime}(x)≧0\) のとき
\(a-g(t)≧0\) \(\iff\) \(a≧g(t)\)
①より，\(a≧2\) のときである．
・\(f^{\prime}(x)≦0\) のとき
\(a-g(t)≦0\) \(\iff\) \(a≦g(t)\)
①より，\(a≦-\displaystyle\frac{9}{8}\) のときである．
したがって，求める \(a\) の値の範囲は
\(a≦-\displaystyle\frac{9}{8}\) または \(2≦a\)
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