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【漸化式13】数学的帰納法型の漸化式|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

13.\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

特にパターン5以降は,初めの1手を知っているかどうか,その1手さえ突破できれば,あとは基本のパターン1〜4に帰着します。

パターン13.実験⇒予測⇒数学的帰納法にて証明

知らない(見たことがない)パターンの漸化式

👉 \(a_{1} , a_{2} , a_{3} , \cdots\) と実験を行い,\(a_{n}\) を予想する.

そして,予測した \(a_{n}\) が正しいことを数学的帰納法を用いて証明

・(1)で『 \(a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4}\) ・・・を求めよ 』と聞いてくることが多い.

・知らない・見たことがないパターンの漸化式であると正しく判断するためには,これまでに紹介してきた頻出パターンをしっかりと身につけている必要がある!

解答・解説

13.\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)

\(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\) より

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a^2_{n}-1}{n+1}\) において

・\(n=1\) を代入すると,\(a_{2}=\displaystyle\frac{a^2_{1}-1}{2}=\displaystyle\frac{3^2-1}{2}=4\)

・\(n=2\) を代入すると,\(a_{3}=\displaystyle\frac{a^2_{2}-1}{3}=\displaystyle\frac{4^2-1}{3}=5\)

・\(n=3\) を代入すると,\(a_{4}=\displaystyle\frac{a^2_{3}-1}{4}=\displaystyle\frac{5^2-1}{4}=6\)

この結果から,\(a_{n}=n+2\) ・・・① と予測することができる

記述の場合,ここで解答を終わらせたらダメ!

あくまでも「予測」であって答えではない!

①が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する.

( ⅰ ) \(n=1\) のとき

\(a_{1}=1+2=3\) となり成立する

( ⅱ ) \(n=k\) のとき ① が成立すると仮定

つまり,\(a_{k}=k+2\) ・・・② が成立

このとき,

\(a_{k+1}=\displaystyle\frac{a^2_{k}-1}{k+1}\) より ② を代入して

\(a_{k+1}=\displaystyle\frac{(k+2)^2-1}{k+1}\)

\(=\displaystyle\frac{(k+1)(k+3)}{k+1}\)

\(=k+3\)

となり, \(n=k+1\) のときも成立する.

したがってすべての自然数 \(n\) において ① は成立するので,

求める一般項は \(a_{n}=n+2\)

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