【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
13．\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン13．実験⇒予測⇒数学的帰納法にて証明
知らない(見たことがない)パターンの漸化式
👉 \(a_{1} , a_{2} , a_{3} , \cdots\) と実験を行い，\(a_{n}\) を予想する．
そして，予測した \(a_{n}\) が正しいことを数学的帰納法を用いて証明
・(１)で『 \(a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4}\) ・・・を求めよ 』と聞いてくることが多い．
・知らない・見たことがないパターンの漸化式であると正しく判断するためには，これまでに紹介してきた頻出パターンをしっかりと身につけている必要がある！
解答・解説
13．\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)
\(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\) より
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a^2_{n}-1}{n+1}\) において
・\(n=1\) を代入すると，\(a_{2}=\displaystyle\frac{a^2_{1}-1}{2}=\displaystyle\frac{3^2-1}{2}=4\)
・\(n=2\) を代入すると，\(a_{3}=\displaystyle\frac{a^2_{2}-1}{3}=\displaystyle\frac{4^2-1}{3}=5\)
・\(n=3\) を代入すると，\(a_{4}=\displaystyle\frac{a^2_{3}-1}{4}=\displaystyle\frac{5^2-1}{4}=6\)
この結果から，\(a_{n}=n+2\) ・・・① と予測することができる
記述の場合，ここで解答を終わらせたらダメ！
あくまでも「予測」であって答えではない！
①が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．
( ⅰ ) \(n=1\) のとき
\(a_{1}=1+2=3\) となり成立する
( ⅱ ) \(n=k\) のとき ① が成立すると仮定
つまり，\(a_{k}=k+2\) ・・・② が成立
このとき，
\(a_{k+1}=\displaystyle\frac{a^2_{k}-1}{k+1}\) より ② を代入して
\(a_{k+1}=\displaystyle\frac{(k+2)^2-1}{k+1}\)
\(=\displaystyle\frac{(k+1)(k+3)}{k+1}\)
\(=k+3\)
となり， \(n=k+1\) のときも成立する．
したがってすべての自然数 \(n\) において ① は成立するので，
求める一般項は \(a_{n}=n+2\)
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