【2024同志社大学(全学部日程)・理系・第１問(１)】ｎ個さいころの目の積を4で割った余り、確率、対数と極限

〔１〕(１) \(n\) を \(2\) 以上の自然数とする． \(n\) 個のさいころを同時に投げるとき，出る目のすべての積を \(4\) で割ったときの余りが \(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\) である確率をそれぞれ \(a_{n}\)，\(b_{n}\)，\(c_{n}\)，\(d_{n}\) とする．このとき，\(b_{2}+d_{2}=\)《　ア　》，\(c_{n}=\)《　イ　》である．一般に，\(b_{n}+d_{n}=\)《　ウ　》，\(c_{n}=\)《　エ　》．これらと，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{n}}{n}=0\) を用いると，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{n}\log(1-a_{n})=\)《　オ　》．

解答・解説

\(n\) 個のさいころを同時になげ，出た目の積を \(4\) で割った余りが \(1\) または \(3\) となるのは，\(n\) 個すべての出る目が奇数の目となるとき

よって，\(b_{n}+d_{n}=\displaystyle\frac{3^n}{6^n}=\displaystyle\frac{1}{2^n}\)・・・《ウ》であるから，

\(b_{2}+d_{2}=\displaystyle\frac{1}{4}\)・・・《ア》

\(n\) 個のさいころを同時になげ，出た目の積を \(4\) で割った余りが \(2\) となるのは，\(1\) 個が \(2\) または \(6\) の目，残り \(n-1\) 個は奇数の目となるとき

よって，\(c_{n}=_{n}C_{1}\displaystyle\frac{2}{6}\cdot\left(\displaystyle\frac{3}{6}\right)^{n-1}=\displaystyle\frac{n}{3\cdot 2^{n-1}}\)・・・《エ》であるから

\(c_{2}=\displaystyle\frac{2}{3\times2}=\displaystyle\frac{1}{3}\)・・・《イ》

\(a_{n}+ b_{n}+ c_{n}+ d_{n}=1\) より

\(1-a_{n}= b_{n}+ c_{n}+ d_{n}=\displaystyle\frac{1}{2^n}+\displaystyle\frac{n}{3\cdot 2^{n-1}}=\displaystyle\frac{2n+3}{3\cdot2^n}\)

ここで，

\(\log(1-a_{n})=\log \displaystyle\frac{2n+3}{3\cdot2^n}\)

\(=\log(2n+3)-n\log2-\log3\)

\(=\log n\left(2+\displaystyle\frac{3}{n}\right)-n\log2-\log3\)

\(=\log n+\log \left(2+\displaystyle\frac{3}{n}\right)-n\log2-\log3\)

したがって

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{n}\log(1-a_{n})\)

\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{logn}{n}+\displaystyle\frac{1}{n}\log \left(2+\displaystyle\frac{3}{n}\right)- \log2-\displaystyle\frac{\log3}{n}\)

ここで，

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log{n}}{n}=0\)，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{n}\log \left(2+\displaystyle\frac{3}{n}\right)=0\)，

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{\log3}{n}=0\) であるから

\(\log(1-a_{n})=-\log2\)・・・《オ》