【2023京都大学・理系・第３問】
\(n\) を自然数とする．\(1\) 個のさいころを \(n\) 回投げ，出た目を順に \(X_{1}\)，\(X_{2}\)，\(\cdots\)，\(X_{n}\) とし，\(n\) 個の数の積 \(X_{1}X_{2}\cdots\cdots X_{n}\) を \(Y\) とする．
(１) \(Y\) が \(5\) で割り切れる確率を求めよ．
(２) \(Y\) が \(15\) で割り切れる確率を求めよ．
解答・解説
(１) \(Y\) が \(5\) で割り切れる確率
\(Y=X_{1}X_{2}\cdots\cdots X_{n}\) が \(5\) で割り切れるとき
\(X_{1}\)，\(X_{2}\)，\(\cdots\)，\(X_{n}\) の少なくとも \(1\) が \(5\) の目となればよい．
ここで余事象
\(X_{1}\)，\(X_{2}\)，\(\cdots\)，\(X_{n}\) のすべてが \(5\) で割り切れない確率は \(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\) であるから
求める確率は，\(1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\)
(２) \(Y\) が \(15\) で割り切れる確率
\(Y\) が \(5\) で割り切れる事象を \(A\)，\(3\) で割り切れる事象を \(B\) とする．
(１)より \(P\left(\overline{A}\right)=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\)
また，\(X_{1}\)，\(X_{2}\)，\(\cdots\)，\(X_{n}\) のすべてが \(3\) で割り切れない
つまり \(3\)，\(6\) の目が出ない確率は
\(P\left(\overline{B}\right)=\left(\displaystyle\frac{4}{6}\right)^n=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n\)
さらに，\(X_{1}\)，\(X_{2}\)，\(\cdots\)，\(X_{n}\) のすべてが \(3\) でも \(5\) でも割り切れない
つまり \(3\)，\(5\)，\(6\) の目が出ない確率は
\(P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=\left(\displaystyle\frac{3}{6}\right)^n=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n\)
以上から \(Y\) が \(15\) で割り切れる確率は
\(P\left(A\cap B\right)=1-P\left(\overline{A\cap B}\right)\)
\(=1-P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)\)
\(=1-\left\{P\left(\overline{A}\right)+P\left(\overline{B}\right)-P\left(\overline{A\cap B}\right)\right\}\)
\(=1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n\)
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