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n 人ジャンケン「あいこ」の確率【一般化】

数学(大学入試問題)

【問題】

\(n\) 人で 1 回じゃんけんを行ったとき、「あいこ」になる確率を求めよ.

※以下では表記簡略化のため、

「グー」☞「グ」、「チョキ」☞「チ」、「パー」☞「パ」とする.


\(n\) に関する(一般化された)問題の考え方について

方針が見えないときは、具体的な値で実験!!

(例1) \(n=2\) のとき

2 人でじゃんけんを行うとき、手の出方は全部で \(3^2=9\) 通り

あいことなるのは、

(グ,グ) 、 (チ,チ) 、 (パ,パ) の 3 通りであるから

\(\displaystyle\frac{3}{9}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

(例2) \(n=3\) のとき

3 人でじゃんけんを行うとき、手の出方は全部で \(3^3=27\) 通り

あいことなるのは、

( ⅰ ) 3 人とも同じ手を出すとき

(グ,グ,グ) 、 (チ,チ,チ) 、 (パ,パ,パ) の 3 通り

 

( ⅱ ) 3 人がバラバラの手を出したとき

(グ,チ,パ) の並び替えを考えると、\(3!=6\) 通り

よって、\(3+6=9\) 通り

したがって、\(\displaystyle\frac{9}{27}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

具体例から一般化へ

\(n\) 人でじゃんけんを行うとき、手の出方は全部で \(3^n\) 通り

あいことなるのは・・・??

滅茶苦茶たくさんある・・・

上の (例1)、(例2) の考え方では、一般化するのは不可能・・・.

👉 (例1)、(例2) の考え方が一般化するのに向いていないため、違う方針で考える必要がある

場合の数・確率の問題の解法2つ

👉 正攻法  余事象 

先ほどは、正攻法(そのまま)で考えてみたが一般化できなかった.

よって2つ目の解法である「余事象」で考える

※様々な問題集などに、

「少なくとも」があったら余事象を使うなど書いてあるが、これだけでは余事象を使いこなせない。

基本的に余事象を使うタイミングは、正攻法では処理できない(大変な)ときに余事象を考えるようにしたい

余事象を用いて、\(n=2 , 3\) の具体例を考える

じゃんけん問題

・(誰が)×(何で) を考える

・分母は \(3^{人数}\)

(例1) \(n=2\) のとき

・1 人が勝つ確率について

(誰が)・・・2 人のうちどちらか 1 人が勝つ

つまり、\(_{2}\rm{C}_{1}=2\) 通り

(何で)・・・「グ」、「チ」、「パ」のどれで勝つかの 3 通り

 

したがって、\(n=2\) のとき「あいこ」となる確率は

\(1-\displaystyle\frac{2\times 3}{3^2}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

 

(例2) \(n=3\) のとき

・1 人が勝つ確率について

(誰が)・・・3 人のうち 1 人が勝つ

つまり、\(_{3}\rm{C}_{1}=3\) 通り

(何で)・・・「グ」、「チ」、「パ」のどれで勝つかの 3 通り

 

・2 人が勝つ確率について

(誰が)・・・3 人のうち 2 人が勝つ

つまり、\(_{3}\rm{C}_{2}=3\) 通り

(何で)・・・「グ」、「チ」、「パ」のどれで勝つかの 3 通り

 

したがって、\(n=3\) のとき「あいこ」となる確率は

\(1-\displaystyle\frac{3\times 3+3\times 3}{3^3}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

☆一般化のために☆

\(n=2 , 3\) を考えたが、答えを出すことが目的ではない

余事象を使った考え方をもとに、一般化につながるような式で表すと、

\(n=3\) のとき

\(1-\displaystyle\frac{(_{3}\rm{C}_{1}+_{3}\rm{C}_{2})\times 3}{3^3}\)

 

これを一般化すると、

\(1-\displaystyle\frac{(_{n}\rm{C}_{1}+_{n}\rm{C}_{2}+\cdots+_{n}\rm{C}_{n-1})\times 3}{3^n}\)

 

つまり、

\(_{n}\rm{C}_{1}+_{n}\rm{C}_{2}+\cdots+_{n}\rm{C}_{n-1}\)

が計算できれば終わりである.

\(_{n}\rm{C}_{r} \) の和

👉 二項定理で考える

\({(a+b)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}a^{n}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}b^{n}}\)

\({\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}}\)

👆シグマを使わない場合と使った場合の二項定理の公式

 

二項定理より

\({(a+b)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}a^{n}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}b^{n}}\)

この式に \(a=b=1\) を代入すると、

\(\boldsymbol{2^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0} +_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1} +_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2} +\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1} +_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}}\)

\({2^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0} +_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1} +_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2} +\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1} +_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}}\)

はよく利用する公式の形だね!

二項定理の公式と一緒に覚えておこう!

よって、

\(_{n}\rm{C}_{1}+_{n}\rm{C}_{2}+\cdots+_{n}\rm{C}_{n-1}\)

\(=2^n-_{n}\rm{C}_{0}-_{n}\rm{C}_{n}=2^n-2\)

 

したがって求める確率は、

\(1-\displaystyle\frac{(2^n-2)\times 3}{3^n}\)

\(=1-\displaystyle\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\)

【別解】あいこの確率

別解のお話をする前に準備の問題です!

準備の問題

\(6\) 人をA、B、Cの 3 部屋に分ける方法は?

ただし、各部屋には少なくとも 1 人は入るものとする.

(※数学Aの4STEPから抜粋)

準備の問題の解答

6 人のそれぞれについて、A、B、Cの 3 通りの部屋の選び方があるから、

6 人の分け方は \(3^6\) 通り

このうち、

・1 部屋だけに 6 人全員が入るとき

6 人全員がA or B or C に入る3 通り

 

・2 部屋だけに 6 人が入るとき

どの部屋に入るかは、

\(_{3}\rm{C}_{2}=3\) 通り(AB or BC or CA のこと)

仮にA,Bに 6 人が入るとき、

6 人のそれぞれについて、A、Bの 2 通りの部屋の選び方があるから、

6 人の分け方は \(2^6\) 通り

しかしこの中には全員がA or B に 6 人が入るときがあるので、

\(2^6-2\) 通り

したがって、\(3^6-3-3(2^6-2)\) 通り

 

・Aの部屋 → 「グー」

・Bの部屋 → 「チョキ」

・Cの部屋 → 「パー」

に置き換え

じゃんけんで「勝負がつく」場合を考えると、

全員が 6 人の出した手が 2 種類 (2 部屋だけに 6 人が入るとき) と考えることが出来るので、

\(3(2^6-2)\) 通り

 

したがって「あいこ」となる場合は、それ以外を考えればよいので、

\(3^6-3(2^6-2)\)

 

さらに、

・6 人 →\(n\) 人 と一般化して考えると、

「あいこ」となる場合は、

\(3^n-3(2^n-2)\)

 

したがって、「あいこ」となる確率は、

\(\displaystyle\frac{3^n-3(2^n-2)}{3^n}=1-\displaystyle\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\)

と考えることが出来る.

最後に

ジャンケンで「あいこ」になる確率という身近なテーマを用いて、

・一般化の考え方

・二項定理

・部屋割り問題

など、様々な視点で考えてみました。

どれを1つとっても重要なテーマになります。

この1問を通して、ただ答えが出せるだけの勉強でなく、どのように考えて問題を解いていくのか、1つ1つの知識を組み合わせる演習にしてください!

 

場合の数・確率が苦手な人はぜひ

【場合の数】何となくでは絶対にダメ!考え方、規則、数え方を正しく学ぶ1問

も読んで考え方を勉強してください。

また、自分の勉強として、ただ問題演習を行うだけの問題集ではない、どのように考えて問題にアプローチするかが非常に詳しく描かれた参考書の「ハッとめざめる確率」で勉強してみてください。

私自身も塾講師を始める前に読みましたが、現役生の時に読んでおけばよかったと後悔しています。

数学の参考書?と思うぐらい文字数が多く、何方かと言えば読み物のような参考書になっています。

この1冊で場合の数・確率の考え方の総まとめができます!


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