【2022北海道大学・文・第２問】
\(\left\{a_{n}\right\}\) を \(a_{1}=-15\) および
\(a_{n+1}=a_{n}+\displaystyle\frac{n}{5}-2\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) )
をみたす数列とする．
(１) \(a_{n}\) が最小となる自然数 \(n\) をすべて求めよ．
(２) \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
(３) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) が最小となる自然数 \(n\) をすべて求めよ．
解答・解説
(１) \(a_{n}\) が最小となる自然数 \(n\)
( ⅰ ) \(a_{n+1}-a_{n}=\displaystyle\frac{n}{5}-2>0\) とすると，
\(n>10\)
よって，\(n=11,12,13,\cdots\) のとき，\(a_{n+1}>a_{n}\)
( ⅱ ) \(a_{n+1}-a_{n}=\displaystyle\frac{n}{5}-2=0\) とすると，
\(n=10\)
よって，\(n=10\) のとき，\(a_{n+1}=a_{n}\)
( ⅲ ) \(a_{n+1}-a_{n}=\displaystyle\frac{n}{5}-2<0\) とすると，
\(n<10\)
よって，\(n=1,2,3,\cdots,9\) のとき，\(a_{n+1}<a_{n}\)
( ⅰ )，( ⅱ )，( ⅲ )より
\(a_{1}>a_{2}>a_{3}>\cdots>a_{9}>a_{10}=a_{11}<a_{12}<a_{13}<\cdots\)
したがって，\(a_{n}\) が最小となる自然数 \(n\) は，\(n=10,11\)
(２) \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項
\(n≧2\) のとき
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\left(\displaystyle\frac{k}{5}-2\right)}\) より
\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{10}(n+5)(n-26)\)
これは \(n=1\) のときもみたす．
したがって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{10}(n+5)(n-26)\)
(３) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) が最小となる自然数 \(n\)
\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) とおく．
\(n≧2\) のとき
\(S_{n}-S_{n-1}=a_{n}=\displaystyle\frac{1}{10}(n+5)(n-26)\) であるから，
\(2≦n<26\) のとき \(S_{n}<S_{n-1}\)
\(n=26\) のとき \(S_{n}=S_{n-1}\)
\(n≧27\) のとき \(S_{n}>S_{n-1}\)
よって，
\(S_{1}>S_{2}>S_{3}>\cdots>S_{24}>S_{25}=S_{26}<S_{27}<S_{28}<\cdots\)
したがって，\(S_{n}\) が最小となる自然数 \(n\) は，\(n=25,26\)
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