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【漸化式5,6】n乗型・分数型(基本)|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

5.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)

6.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

特にパターン5以降は,初めの1手を知っているかどうか,その1手さえ突破できれば,あとは基本のパターン1〜4に帰着します。

パターン5. \(n\) 乗型

\(a_{n+1}=pa_{n}+q^n\) ( \(p ≠ 1\) )

👉 \(q^{n+1}\) で割って置き換え

※ \(p=1\) のとき,階差数列型(パターン3)

※ \(q^n\) については,\(q^{n-1}\) , \(q^{2n}\) など \(n\) 乗の形は様々

5.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)

\(2^{n+1}\) で割ると,

\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{4a_{n}}{2^{n+1}}+\displaystyle\frac{6\cdot 2^n}{2^{n+1}}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=2\cdot\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}+3\)

ここで,\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}\) とおくと,
\(b_{1}=\displaystyle\frac{a_{1}}{2}=1\) かつ \(b_{n+1}=2b_{n}+3\)

パターン4:隣接二項間特性方程式型に帰着した!

この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう!

\(\alpha=2\alpha+3\) \(\iff\) \(\alpha=-3\) より
\(b_{n+1}=2b_{n}+3\) \(\iff\) \(b_{n+1}+3=2(b_{n}+3)\)
数列 \(\left\{ b_{n}+3 \right\}\) は,初項が \(b_{1}+3=4\) , 公比が \(2\) の等比数列であるから,
\(b_{n}+3=4\cdot 2^{n-1}\) \(\iff\) \(b_{n}=2^{n+1}-3\)

最後に,\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}\) であるから

\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=2^{n+1}-3\)

したがって,\(a_{n}=(2^{n+1}-3)\cdot 2^n\)

パターン6.分数型(基本)

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\)

👉 逆数をとる

※ \(a_{n}≠0\) について記述する必要あり

※ 分数型の発展問題

【漸化式14】分数型(発展)2実数解タイプ|解法パターン|数学B数列

【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ|解法パターン|数学B数列

6.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)

\(a_{1}=1>0\) かつ \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\) であるから,

明らかに \(a_{n}>0\) つまり \(a_{n}≠0\) であるので逆数をとると,

\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{2a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot \displaystyle\frac{1}{a_{n}}+2\)

ここで,\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\) とおくと,
\(b_{1}=\displaystyle\frac{1}{a_{1}}=1\) かつ \(b_{n+1}=3b_{n}+2\)

パターン4:隣接二項間特性方程式型に帰着した!

この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう!

\(\alpha=3\alpha+2\) \(\iff\) \(\alpha=-1\) より

\(b_{n+1}=3b_{n}+2\) \(\iff\) \(b_{n+1}+1=3(b_{n}+1)\)

数列 \(\left\{ b_{n}+1 \right\}\) は,初項が \(b_{1}+1=2\) , 公比が \(3\) の等比数列であるから,

\(b_{n}+1=2\cdot 3^{n-1}\) \(\iff\) \(b_{n}=2\cdot 3^{n-1}-1\)

最後に,\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\) であるから

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}}=2\cdot 3^{n-1}-1\)

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}\)

参考:\(a_{n}≠0\) であることの有名な証明法

上のパターン6では,明らかに正であることが分かったため簡略的な説明で \(a_{n}≠0\) を説明した.

一般的な有名な証明法としては,背理法を用いて示す.別の場面でもよく出題されるため,解法の流れを知っておきましょう!

背理法の利用

\(a_{n+1}=0\) であると仮定する

POINT

\(a_{n}\) ではなく,\(a_{n+1}\) からスタートします!

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\) より

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}=0\)

よって \(a_{n}=0\) 

この結果から

\(a_{n+1}=0 ⇒ a_{n}=0\) であることがわかった.

つまり,これを繰り返すことで

\(a_{n+1}=0 ⇒ a_{n}=0 ⇒ a_{n-1}=0 ⇒ \cdots ⇒ a_{2}=0 ⇒ a_{1}=0\)

この結果から,\(a_{1}=0\) と導けるが,\(a_{1}=1\) であることに矛盾する.

よって \(a_{n+1}≠0\) であるから,\(a_{n}≠0\)

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