【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
５．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)
６．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン５． \(n\) 乗型
\(a_{n+1}=pa_{n}+q^n\) ( \(p ≠ 1\) )
👉 \(q^{n+1}\) で割って置き換え
※ \(p=1\) のとき，階差数列型(パターン３)
※ \(q^n\) については，\(q^{n-1}\) , \(q^{2n}\) など \(n\) 乗の形は様々
\(2^{n+1}\) で割ると，
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\displaystyle\frac{4a_{n}}{2^{n+1}}+\displaystyle\frac{6\cdot 2^n}{2^{n+1}}\)
\(\iff\) \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=2\cdot\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}+3\)
パターン４：隣接二項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
最後に，\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}\) であるから
\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2^n}=2^{n+1}-3\)
したがって，\(a_{n}=(2^{n+1}-3)\cdot 2^n\)
パターン6．分数型(基本)
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\)
👉 逆数をとる
※ \(a_{n}≠0\) について記述する必要あり
※ 分数型の発展問題
【漸化式14】分数型(発展)２実数解タイプ｜解法パターン｜数学B数列
【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ｜解法パターン｜数学B数列
\(a_{1}=1>0\) かつ \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\) であるから，
明らかに \(a_{n}>0\) つまり \(a_{n}≠0\) であるので逆数をとると，
\(\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{2a_{n}+3}{a_{n}}=3\cdot \displaystyle\frac{1}{a_{n}}+2\)
パターン４：隣接二項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
\(\alpha=3\alpha+2\) \(\iff\) \(\alpha=-1\) より
\(b_{n+1}=3b_{n}+2\) \(\iff\) \(b_{n+1}+1=3(b_{n}+1)\)
数列 \(\left\{ b_{n}+1 \right\}\) は，初項が \(b_{1}+1=2\) , 公比が \(3\) の等比数列であるから，
\(b_{n}+1=2\cdot 3^{n-1}\) \(\iff\) \(b_{n}=2\cdot 3^{n-1}-1\)
最後に，\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}}\) であるから
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{a_{n}}=2\cdot 3^{n-1}-1\)
したがって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}\)
参考：\(a_{n}≠0\) であることの有名な証明法
上のパターン６では，明らかに正であることが分かったため簡略的な説明で \(a_{n}≠0\) を説明した．
一般的な有名な証明法としては，背理法を用いて示す．別の場面でもよく出題されるため，解法の流れを知っておきましょう！
背理法の利用
\(a_{n+1}=0\) であると仮定する
POINT
\(a_{n}\) ではなく，\(a_{n+1}\) からスタートします！
\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\) より
\(\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}=0\)
よって \(a_{n}=0\)
この結果から
\(a_{n+1}=0 ⇒ a_{n}=0\) であることがわかった．
つまり，これを繰り返すことで
\(a_{n+1}=0 ⇒ a_{n}=0 ⇒ a_{n-1}=0 ⇒ \cdots ⇒ a_{2}=0 ⇒ a_{1}=0\)
この結果から，\(a_{1}=0\) と導けるが，\(a_{1}=1\) であることに矛盾する．
よって \(a_{n+1}≠0\) であるから，\(a_{n}≠0\)
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