【2021札幌医科大学・医学部・第１問(２)】
自然数 \(n\) に対して
\(N=(n+2)^3-n(n+1)(n+2)\)
が \(36\) の倍数になるような \(n\) をすべて求めよ．
解答・解説
\(N=(n+2)\left\{(n+2)^2-n(n+1)\right\}\)
よって，\(N=(n+2)(3n+4)\) ・・・①
\(3n+4=3(n+1)+1\) より，\(3\) の倍数とならないため，
\(N\) が \(36=2^2\times 3^2\) の倍数となるためには，
\(n+2\) は \(9\) の倍数．
\(k\) を自然数とすると，\(n+2=9k\) とおける．
\(n=9k-2\) を①に代入すると
\(N=9k\left\{3(9k-2)+4\right\}=9k(27k-2)\) ・・・②
次に \(m\) を自然数として
( ⅰ ) \(k=2m\) のとき
②より
\(N=9\cdot 2m(27\times 2m-2)=36l(27m-1)\)
となり \(N\) は \(36\) の倍数となる．
( ⅱ ) \(k=2m-1\) のとき
②より
\(N=9(2m-1)\left\{27(2m-1)-2\right\}=9(2m-1)(54m-29)\)
\(2m-1\) ，\(54m-29=2(27m-15)+1\) はともに奇数であるから，\(N\) は \(36\) の倍数にならない．
したがって題意を満たすのは，
\(n=9k-2\) かつ \(k=2m\) ( \(k,m\) は自然数 )
つまり，\(n=18m-2\) ( \(m\) は自然数 )
コメント