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777の777乗の一の位、7の7乗の7乗の一の位|2021成城大学

数学(大学入試問題)

【2021成城大学・経】

(1) \(777^{777}\) の一の位の数字を求めよ.

(2) \(7^{7^7}\) ( \(7\) の \(7^7\) 乗 ) の一の位の数字を求めよ.

『一の位』の考え方

「一の位」は実験から規則性を!

一の位 ☞ 規則性あり!

一の位について問われたら、いくつか実験を行いましょう!

例えば、

・\(7^1=7\) ⇒ 一の位は「 \(7\) 」

・\(7^2=49\) ⇒ 一の位は「 \(9\) 」

・\(7^3=343\) ⇒ 一の位は「 \(3\) 」

・\(7^4=2401\) ⇒ 一の位は「 \(1\) 」

・\(7^5=16807\) ⇒ 一の位は「 \(7\) 」

となり、「 \(7\) 」、「 \(9\) 」、「 \(3\) 」、「 \(1\) 」を繰り返す.

しかし、さすがに \(777\) を何乗かして実験していくのは・・・

 

合同式の利用

一の位とは、10 で割った余りのこと
☞ \(mod 10\) で考えることができる
合同式に不安がある人は、
を参考にしてください!

(1) 解答

以下すべて、\(mod 10\) として考える.

\(777≡7\) より、

\(777^2≡7^2=49≡9\)

\(777^3=777^2\times777≡9\times7=63≡3\)

\(777^4=777^3\times777≡3\times7=21≡1\)

\(777^5=777^4\times777≡1\times7=7\) となり、

\(777^n\) の一の位は、「 \(7\) 」、「 \(9\) 」、「 \(3\) 」、「 \(1\) 」を繰り返す.

よって、\(777=4\times194+1\) より、

\(777^{777}=777^{4\times194}\times777≡1^{194}\times7=7\)

したがって、\(777^{777}\) の一の位の数字は、\(7\)

 

(2)の考え方

方針:ガッツ!

\(7^7\) を頑張って計算すると、

\(7^7=823543\) であり、

(1)の結果から、\(7\) のべき乗の一の位の数は、「 \(7\) 」、「 \(9\) 」、「 \(3\) 」、「 \(1\) 」を繰り返すので、

\(7^7=823543=4\times205885+3\) より

\(7^{7^7}=7^{4\times205885+3}≡7^3≡3\) ( \(mod10\) )

したがって、\(7^{7^7}\) の一の位の数は \(3\)

のように、\(7^7\) ぐらいであればまだ頑張れば答えを求めることは出来る.

しかし、もっと大きな数となるとさすがにこの解法にも限界が・・・

そこで、結局何が求まれば答えが分かるのか?と言うことを考えてみる.

\(mod4\)

(1)の結果から、\(7\) のべき乗は「 \(7\) 」、「 \(9\) 」、「 \(3\) 」、「 \(1\) 」の \(4\) つの数を繰り返すので、結局のところ、

\(7^7\) を \(4\) で割った余りが求まればよい

\(4\) で割った余りを考えればよいので、\(mod4\) を考えればよい.

(2)解答

以下、\(mod4\) として考える.

\(7-≡1\) より、\(7≡(-1)^7=-1≡3\) なので、

\(7^7\) を \(4\) で割った余りは \(3\)

(つまり、\(7^7=4k+3\) と表すことが出来る数)

(1)の結果から、\(7\) のべき乗の一の位の数は、「 \(7\) 」、「 \(9\) 」、「 \(3\) 」、「 \(1\) 」を繰り返すので、\(7^{7^7}\) の一の位の数は \(3\)

【参考補足】周期性を持つことの証明

実験から、\(7\) のべき乗の一の位の数は、「 \(7\) 」、「 \(9\) 」、「 \(3\) 」、「 \(1\) 」を繰り返すと言うことを解答で言っているが、厳密に言うと、この解答では、「予想」と捉えられる可能性がある.

そこで、しっかりと周期性を持つことについて証明を与える.

規則性を持つことを証明

\(a , b\) の一の位が等しい

☞ \(a-b\) は 10 の倍数

☞ \(a-b≡0\)  ( \(mod10\) ) を示せばよい.

例えば、82 と 52 は一の位が等しい

このとき、\(82-52=30\) であるから、差をとると10 の倍数になる!

本問では、「 \(7\) 」、「 \(9\) 」、「 \(3\) 」、「 \(1\) 」の \(4\) つの数を繰り返すのでの証明をしたいので、

\(7^n\) と \(7^{n+4}\) の一の位の数が等しいことを証明すれば良い!

\(7^{n+4}-7^n=7^4\times7^n-7^n=(7^4-1)\times7^n\)

\(7^4-1=(7^2+1)(7^2-1)=50\times48≡0\) ( \(mod10\) ) より、

\(7^{n+4}-7^n≡0\) ( \(mod10\) )

したがって、\(7^{n+4}≡7^n\) ( \(mod10\) ) となるので、

\(7^{n+4}\) と \(7^n\) の \(1\) の位は等しい.

つまり、\(4\) つの周期性を持つことが分かる.

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