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入試総合問題(三角関数の媒介変数・恒等式・線形計画法)

数学(大学入試問題)

\(0\text{°}≦\theta≦90\text{°}\) のとき

\(\displaystyle\frac{\sin\theta+1}{\cos\theta+1}\)

のとり得る値の範囲を求めよ.

考え方(解答にたどり着くために)

1.媒介変数の利用

媒介変数って何??しっかりと理解できていない人は、

媒介変数表示とは?

を参考にしてください.

2.\(k\) についての恒等式

【例題】\(k\) を定数とする.

直線 \((k+1)x-(2k+3)y-3k-5=0\) は、\(k\) の値に関わらず定点を通る.

その定点の座標を求めよ.

\(( A )+( B )k=0\) の形に変形

➡ \(A = 0\) かつ \(B = 0\)

直線 \((k+1)x-(2k+3)y-3k-5=0\) を \(k\) についてまとめると、

\((x-3y-5)+(x-2y-3)k=0\)

これが \(k\) の値に関わらず成立するとき、

\(x-3y-5=0\) かつ \(x-2y-3=0\)

これを解くと、\(( x , y )=( -1 , -2 )\)

3.線形計画法

【例題】

\(x^2+y^2=1\) のとき、\(y-x\) のとり得る値の範囲を求めよ.

\(y-x=k\) とおく.

\(y=x+k\) ・・・① より

傾きが \(1\)、\(y\) 切片が \(k\) の直線を表す.

\(x^2+y^2=1\) (中心原点、半径 \(1\) の円) と、①が交点を持つ範囲を考えると下図のようになり、

\(k\) (\(y\) 切片) が最大、最小となるのは、それぞれ①が円と接するときである.

(計算は省略)

したがって、\(-\sqrt{2}≦k≦\sqrt{2}\)

つまり、\(-\sqrt{2}≦y-x≦\sqrt{2}\)



解答

\(0\text{°}≦\theta≦90\text{°}\) のとき

\(\displaystyle\frac{\sin\theta+1}{\cos\theta+1}\)

のとり得る値の範囲を求めよ.

\(x=\cos\theta\) 、\(y=\sin\theta\) \((0\text{°}≦\theta≦90\text{°})\)  とおく.

このとき \(( x , y )\) は、

\(x^2+y^2=1\)、\(x≧0\)、\(y≧0\) ・・・ ① を表す.

このとき、

\(\displaystyle\frac{\sin\theta+1}{\cos\theta+1}=k\) とおくと、

\(k=\displaystyle\frac{y+1}{x+1}\)

\(y+1=k(x+1)\) ・・・ ②

②は \(k\) の値に関わらず、\(( x , y )=( -1 , -1 )\) を通り、傾き \(k\) の直線を表す.

つまり本問は、①と②が共有点をもつときの \(k\) (傾き) の範囲を考えればよい.

図より、

②が \(( 1 , 0 )\) を通るとき、\(k=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(( 0 , 1 )\) を通るとき、\(k=2\)

したがって、\(\displaystyle\frac{1}{2}≦k≦2\)

つまり、\(\displaystyle\frac{1}{2}≦\displaystyle\frac{\sin\theta+1}{\cos\theta+1}≦2\)

 



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