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【数Ⅱ積分】定積分を含む関数について|公式まとめ・演習例題(2021北海道情報大)

数学(大学入試問題)

【2021北海道情報大学】

\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=4x^3-3x^2+x-\displaystyle\int^{1}_{0}f(t) \enspace dt\)

を満たす関数 \(f(x)\) を考える.ただし \(a\) は実数の定数である.

(1) 関数 \(f(x)\) を求めよ.

(2) 定数 \(a\) の値を求めよ.

定積分を含む積分について

1.積分区間が定数のとき

\(\displaystyle\int^{定数}_{定数}f(t) \enspace dt\) は定数であるから \(A\) ( 定数 ) とおく

2.積分区間の上端に \(x\) を含むとき

\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt\) の形を見たら

①  \(x\) で微分する:\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=f(x)\)

②  \(x=a\) (  \(x\) に下端を ) 代入:\(\displaystyle\int^{a}_{a}f(t) \enspace dt=0\)

解答

(1)

定数 \(A\) を用いて,

\(\displaystyle\int^{1}_{0}f(t) \enspace dt=A\) とおくと与式は

\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=4x^3-3x^2+x-A\) ・・・①

①を \(x\) で微分すると,

\(f(x)=12x^2-6x+1\)

(2)

次に①に \(x=a\) を代入すると

\(\displaystyle\int^{a}_{a}f(t) \enspace dt=4a^3-3a^2+a-A\)

\(\iff\) \(4a^3-3a^2+a-A=0\) ・・・②

ここで,(1)より

\(A=\displaystyle\int^{1}_{0}f(t) \enspace dt\)

\(=\displaystyle\int^{1}_{0}(12t^2-6t+1) \enspace dt\)

\(=\Bigl[4t^3-3t^2+t\Bigr]^{1}_{0}=2\) であるから②より

\(4a^3-3a^2+a-2=0\)

\((a-1)(4a^2+a+2)=0\)

\(4a^2+a+2=4\left(a+\displaystyle\frac{1}{8}\right)^2+\displaystyle\frac{31}{16}>0\) より

求める値は,\(a=1\)

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