【2021北海道情報大学】
\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=4x^3-3x^2+x-\displaystyle\int^{1}_{0}f(t) \enspace dt\)
を満たす関数 \(f(x)\) を考える．ただし \(a\) は実数の定数である．
(１) 関数 \(f(x)\) を求めよ．
(２) 定数 \(a\) の値を求めよ．
定積分を含む関数について
１．積分区間が定数のとき
２．積分区間の上端に \(x\) を含むとき
\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt\) の形を見たら
① \(x\) で微分する：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=f(x)\)
② \(x=a\) ( \(x\) に下端を ) 代入：\(\displaystyle\int^{a}_{a}f(t) \enspace dt=0\)
解答
(１)
定数 \(A\) を用いて，
\(\displaystyle\int^{1}_{0}f(t) \enspace dt=A\) とおくと与式は
\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=4x^3-3x^2+x-A\) ・・・①
①を \(x\) で微分すると，
\(f(x)=12x^2-6x+1\)
(２)
次に①に \(x=a\) を代入すると
\(\displaystyle\int^{a}_{a}f(t) \enspace dt=4a^3-3a^2+a-A\)
\(\iff\) \(4a^3-3a^2+a-A=0\) ・・・②
ここで，(１)より
\(A=\displaystyle\int^{1}_{0}f(t) \enspace dt\)
\(=\displaystyle\int^{1}_{0}(12t^2-6t+1) \enspace dt\)
\(=\Bigl[4t^3-3t^2+t\Bigr]^{1}_{0}=2\) であるから②より
\(4a^3-3a^2+a-2=0\)
\((a-1)(4a^2+a+2)=0\)
\(4a^2+a+2=4\left(a+\displaystyle\frac{1}{8}\right)^2+\displaystyle\frac{31}{16}>0\) より
求める値は，\(a=1\)
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