【2023京都大学・文系・第１問】
次の各問に答えよ．
問１ \(n\) を自然数とする．\(1\) 個のさいころを \(n\) 回投げるとき，出た目の積が \(5\) で割り切れる確率を求めよ．
問２ 次の式の分母を有理化し，分母に \(3\) 乗根の記号が含まれない式として表せ．
\(\displaystyle\frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}\)
解答・解説
問１ 出た目の積が \(5\) で割り切れる確率
出た目の積が \(5\) で割り切れるためには，
\(n\) 回のさいころの目のうち，少なくとも \(1\) 回は \(5\) の目が出れば良い．
余事象を考える．
\(n\) 回のさいころの目のうち，\(1\) 回も \(5\) の目が出ない確率は
\(\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\) より
したがって求める確率は，\(1-\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^n\)
問２ 分母の有理化
\(A=\displaystyle\frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}\)，
\(a=\sqrt[3]{3}\) とおく．
\(a^3=3\) ・・・①
\(A=\displaystyle\frac{55}{2a^2+a+5}\)
\(=\displaystyle\frac{55a}{2a^3+a^2+5a}\)
①より
\(A=\displaystyle\frac{55a}{a^2+5a+6}\)
\(=\displaystyle\frac{55a}{(a+2)(a+3)}\)
\(=\displaystyle\frac{55a(a^2-2a+4)(a^2-3a+9)}{(a+2)(a^2-2a+4)(a+3)(a^2-3a+9)}\)
\(=\displaystyle\frac{55(a^5-5a^4+19a^3-30a^2+36a)}{(a^3+8)(a^3+27)}\)
①より
\(A=\displaystyle\frac{55(3a^2-15a+57-30a^2+36a)}{11\times 30}\)
\(=\displaystyle\frac{-27a^2+21a+57}{6}\)
\(=\displaystyle\frac{-9a^2+7a+19}{2}\)
\(=\displaystyle\frac{-9\sqrt[3]{9}+7\sqrt[3]{3}+19}{2}\)
コメント