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【2020早稲田大学】1/(2+sinα)+1/(2+sin2β)=1のとき|α+β-8|の最小値|三角関数(範囲から最小値)

数学(大学入試問題)

【2020早稲田大学・人間科学】

\(\displaystyle\frac{1}{2+\sin \alpha}+\displaystyle\frac{1}{2+\sin 2\beta}=2\) のとき,\(|\alpha+\beta-8|\) の最小値を求めよ.

考え方・ヒント

【2020早稲田大学・人間科学】

\(\displaystyle\frac{1}{2+\sin \alpha}+\displaystyle\frac{1}{2+\sin 2\beta}=2\) のとき,\(|\alpha+\beta-8|\) の最小値を求めよ.

さあ、この問題を見たらまず最初に何から手をつけたくなりますか??

まずは分母をはらうために両辺に \((2+\sin\alpha)(2+\sin 2\beta)\) をかけて式を整理すると・・・・・

\(2\sin \alpha\sin 2\beta+3\sin \alpha+3\sin 2\beta+4=0\) になった!

確かに分母をはらいたくなりますね!

それではそこからどうしますか?

因数分解は・・・・・???

何をすれば・・・。

手が止まってしまいましたね!

ここでは一度スタート地点に戻って、最初から考え直してみましょう!

【ヒント】

一般的な角 \(\theta\) において, \(-1≦\sin \theta≦1\)

が成り立つことから,\(\sin \theta\) や \(\cos \theta\) には範囲があります!

 

それは知っているけど・・・

知っていることと,使えることは違います!

もう少しヒントを続けましょう!

\(-1≦\sin \theta≦1\) より \(1≦2+\sin \theta≦3\)

逆数をとると,\(\displaystyle\frac{1}{3}≦\displaystyle\frac{1}{2+\sin \theta}≦1\)

手が出なかった方もこのヒントをもとにもう一度考えてみましょう!

解答・解説

\(-1≦\sin \alpha≦1\) , \(-1≦\sin 2\beta≦1\) であるから

\(1≦2+\sin \alpha≦3\) , \(1≦2+\sin 2\beta≦3\)

よって,\(\displaystyle\frac{1}{3}≦\displaystyle\frac{1}{2+\sin \alpha}≦1\) , \(\displaystyle\frac{1}{3}≦\displaystyle\frac{1}{2+\sin \beta}≦1\)

ゆえに,\(\displaystyle\frac{2}{3}≦\displaystyle\frac{1}{2+\sin \alpha}+\displaystyle\frac{1}{2+\sin 2\beta}≦2\) であるから,

\(\displaystyle\frac{1}{2+\sin \alpha}+\displaystyle\frac{1}{2+\sin 2\beta}=2\) のとき

\(\displaystyle\frac{1}{2+\sin \alpha}=1\) かつ \(\displaystyle\frac{1}{2+\sin 2\beta}=1\)

つまり,\(\sin \alpha=-1\) かつ \(\sin \beta=-1\) のときである.

整数 \(m\) , \(n\) を用いて

\(\alpha=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2m\pi\) , \(2\beta=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2n\pi\)

よって,\(\alpha=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2m\pi\) , \(\beta=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+n\pi\)

したがって,\(|\alpha+\beta-8|=|\displaystyle\frac{9\pi}{4}+(2m+n-8)\pi|\) であるから

\(2m+n-8=-2\) ( 例:\(m=n=2\) など ) のとき,

\(|\alpha+\beta-8|\) の最小値は \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) となる.

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